Методическое пособие Основные понятия и методы теории информатики и кодирования

или оценочное высказывание.

Описательное высказывание содержит описание чего-либо. Например: «В городе Тюмени сейчас идёт дождь». Оценочное высказывание содержит оценку чего-либо или побуждение выполнить что-либо. Примеры: «Хорошо,

что в городе Тюмени сейчас идёт дождь»; «Пойдите и проверьте, кончился дождь или нет» (здесь наше действие «пойти и проверить» кем-то оценивается как желаемое).

Описательные высказывания

Описательные высказывания могут быть истинными или ложными.

Описательное высказывание является истинным, если в действительности всё так, как указывается в этом высказывании. Иначе – высказывание ложно.

Например, высказывание «В городе Тюмени сейчас идёт дождь» является истинным, если действительно сейчас идёт дождь. Если сейчас дождя нет, то это высказывание ложно.

Описательное высказывание – это любое повествовательное предложение, в отношении которого можно однозначно утверждать, что оно истинно или ложно.

Составные высказывания

Высказывания могут быть простыми и составными.

Простое описательное высказывание утверждает только один какой-

нибудь факт. Например, «Все металлы электропроводны»; «Земля меньше Солнца»; «Наш дом выше деревьев»…

Составные высказывания строятся из простых путём соединения их между собой при помощи логических связок: «и», «или», «неверно, что», «либо, либо», «если, то», «тогда и только тогда, когда» и некоторых других. Примеры:

«Я завтра пойду в кино и в театр» = «Я завтра пойду в кино» И «Я завтра пойду в театр»

«Кларнет украли Карл или Клара» = «Кларнет украл Карл» ИЛИ «Кларнет украла Клара»

«Неверно, что мне уже за 40» = НЕВЕРНО, ЧТО «Мне уже больше 40 лет»

«Я пойду домой либо в 5 часов, либо в 6» = = ЛИБО «Я пойду домой в 5 часов», ЛИБО «Я пойду домой в 6 часов»

«Если число 8 делится на 4, то оно делится и на 2» =

31

= ЕСЛИ «8 делится на 4», ТО «8 делится на 2»

«Число является чётным тогда и только тогда, когда оно делится на 2» =

= «Число является чётным» ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА «Число делится на 2»

Для образования составных высказываний можно использовать и комбинации разных логических связок. Например:

«Если кларнет украли Карл или Клара, тогда Петров и Иванов не виновны» = = ЕСЛИ «Кларнет украл Карл» ИЛИ «Кларнет украла Клара», ТО НЕВЕРНО,

ЧТО «Петров виновен» И НЕВЕРНО, ЧТО «Иванов виновен»

Алгебра высказываний

Алгебра высказываний была разработана для того, чтобы можно было определять истинность или ложность составных высказываний, не вникая в их содержание.

Здесь высказываниям ставятся в соответствие логические переменные.

Логическая переменная – это буква (обычно строчная латинская), с которой связывается одно из двух значений: либо «истина», либо «ложь». Например:

a = «Два умножить на два равно четырем» = истина b = «Два умножить на два равно десяти» = ложь

Для краткости значения логических переменных обозначают нулём и единицей. Истинному высказыванию соответствует 1, ложному 0.

Внашем примере a = 1 и b = 0.

Валгебре высказываний составные высказывания получаются путём соединения простых высказываний определенными логическими операциями.

Истинность составного высказывания зависит от истинности входящих в него простых высказываний и использованных логических операций.

Логическая операция – это функция от одной или двух логических переменных, правило вычисления которой задаётся при помощи таблицы.

Каждой логической связке («и», «или», «неверно, что», «либо, либо», «если,

то», «тогда и только тогда, когда») соответствует определённая логическая операция.

Таблицы, определяющие значения логических операций при различных исходных значениях логических переменных, называются таблицами истинности.

32

Основные логические операции

составное высказывание, построенное с использованием конъюнкции, будет истинно тогда и только тогда, когда истинны оба входящие в него высказывания.

Дизъюнкция, или логическое сложение

Дизъюнкция – логическая операция, соответствующая логической связке

«ИЛИ».

дизъюнкции, будет истинно тогда, когда истинно хотя бы одно из входящих в него высказываний.

Обозначается: крышкой над буквой переменной или над целым выражением (a , a b, a b), символом ( a), иногда также символом ~ (~a),

а также словами «не», «not». Как видно из таблицы истинности, инверсия изменяет значение логической переменной на противоположное. На языке логики это означает, что составное высказывание, построенное с использованием инверсии, будет истинно тогда, когда входящее в него высказывание ложно.

Пример. Высказывание «5 делится на 2 без остатка» ложно. А его инверсия

(его отрицание) будет истинно: «Неверно, что 5 делится на 2 без остатка».

33

Исключающее ИЛИ, или сложение по модулю 2, или

неравнозначность

Исключающее ИЛИ – логическая операция, соответствующая логической связке «ЛИБО, ЛИБО». Обозначается символами , , а также словом «xor».

Как видно из таблицы истинности, логическое выражение a b

Пример. «Либо Вы купите автомобиль, либо норковую шубу». Здесь делается акцент, что сразу оба действия совершены быть не

могут. Если Вам всё же хватило денег и Вы купили как автомобиль, так и шубу, тогда приведённое высказывание ложно. Оно ложно и в том случае, если Вы ничего не купите (ни шубу, ни автомобиль).

Логическую операцию ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ ещё называют строгой дизъюнкцией или дизъюнкцией с исключённым третьим. Так, обычная дизъюнкция имеет три случая истинности: высказывание «Кларнет украли Карл или Клара» будет истинным в трёх случаях:

1) когда украл Карл; 2) когда украла Клара; 3) когда Карл и Клара, действовали заодно и вместе совершили это преступление.

По-другому дело обстоит с операций ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ:

«Либо Карл украл кларнет, либо Клара украла». Третий случай (совместной кражи), который был возможен при обычной дизъюнкции, здесь исключён.

высказывания может следовать что угодно, но из истинного высказывания обязательно должна следовать истина.

Пример. «Если сейчас идёт дождь, то на небе имеются тучи». Данное высказывание истинно при: 1) дождя нет и на небе нет туч; 2) дождя нет и на небе есть тучи (согласитесь, что такое вполне бывает – присутствие туч на небе ещё не значит, что обязательно есть дождь); 3) дождь есть и тучи есть. Однако,

если вдруг получилось так, что дождь есть, а на небе туч нет, тогда заданное высказывание не соответствует действительности, то есть тогда оно ложно.

34

высказывание, образованное с помощью операции эквивалентности будет истинно тогда, когда исходные высказывания одновременно истинны или одновременно ложны.

Примеры. «Человек жив тогда и только тогда, когда он дышит»; «Продукт имеет массу килограмм тогда и только тогда, когда имеет массу 1000 грамм».

Логические элементы

Логический элемент – технический (обычно полупроводниковый) элемент, выполняющий определённую логическую операцию над подаваемыми на его вход цифровыми сигналами.

Цифровые сигналы – это сигналы, которые могут принимать только два значения: «0» или «1». Для электрического цифрового сигнала «0» соответствует напряжению 0В и «1» соответствует напряжению +5В.

Технические обозначения базовых логических элементов

К базовым логическим элементам относятся элементы, выполняющие операции:

1)логического умножения – элемент «И» (рис.4);

2)логического сложения – элемент «ИЛИ» (рис.5);

3)инверсии – элемент «НЕ» (рис.6).

Входные линии элементов всегда слева, а выходная линия – справа.

Пример 1. На вход элемента «И» подали сигналы a = 1 и b = 0. На выходе будет сигнал «0», поскольку a b = 1 0 = 0 (см. таблицу истинности для конъюнкции).

35

Пример 2. На вход элемента «ИЛИ» подали сигналы a = 1 и b = 0. На выходе будет сигнал «1», поскольку a b = 1 0 = 1 (см. таблицу истинности для дизъюнкции).

Пример 3. На вход элемента «НЕ» подали сигнал a = 1. На выходе будет сигнал «0», поскольку a = 1 = 0 (см. таблицу истинности для инверсии).

Логические элементы «И-НЕ» и «ИЛИ-НЕ»

В технике также широко применяются сдвоенные логические элементы «ИЛИ-НЕ» и «И-НЕ».

Логические схемы

Логические схемы – это схемы, построенные из логических элементов. Составление логической схемы – один из этапов проектирования новых

цифровых устройств (новых микросхем).

Рассмотрим этот процесс на примере создания логической схемы, которая бы выполняла логическую операцию ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ. Непосредственного логического элемента для этой операции нет, поэтому мы составим логическую схему, используя имеющиеся базовые логические элементы: «И», «ИЛИ» и «НЕ».

Этап 1. На основе таблицы истинности искомой функции составляем логическое выражение, эквивалентное её значению:

36

Этап 4. Избавляемся от явных элементов «НЕ», заменяя их инверсными входами.

&a b

b

Из подобных схем (только значительно сложнее) составляются любые цифровые устройства: процессор, кэш-память, контроллеры материнской платы, контроллеры внешних устройств, микросхемы калькуляторов и др.

37

Рекомендуемая литература

1.Информатика. Базовый курс. 2-е издание/ Под ред. С.В. Симоновича. –

СПб.: Питер, 2004. – 640 с.

2.Информатика: Энциклопедический словарь для начинающих/ Сост.

Д.А.Поспелов. – М.: Педагогика-Пресс, 1994. – 352 с.

3.Козырев А.А. Информационные технологии в экономике и управлении.

СПб.: Изд-во Михайлова В.А., 2001. – 277 с.

4.Курс компьютерной технологии с основами информатики: Учебное пособие/ О. Ефимова, В. Морозов, Н. Угринович. – М.: ООО

«Издательство АСТ»; ABF, 2004. – 424 с.

5.Рудикова Л.В. Microsoft Office для студента. – СПб.: БХВ-Петербург, 2005. – 592 с.

6.Таненбаум Э.С. Архитектура компьютера; перевод с англ. – СПб.: Питер, 2003, 704 с.

7.Хелд Г. Технологии передачи данных; перевод с англ. – СПб.: Питер, 2003, 720 с.

8.Хребтов В.А. Понятия и определения. Информатика. – Издательский дом Литера. – Санкт-Петербург, 2006. – 62 с.

9.Http://ruslogic.narod.ru/lectures/1.htm.

10.Http://matsievsky.newmail.ru

11.Http://network.xsp.ru

38