Классификация точек разрыва

Непрерывность функции в точкеозначает, что

1) функция в точке определена,

2)существуют конечные и равные односторонние пределы в этой точке,

3)

Невыполнение хотя бы одного из этих условий говорит о том, что –

точка разрыва.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Точка называется точкойразрыва первого рода, если для функции существуютконечные пределы и, причем не все три числаравны между собой. В частности, если, то точканазываетсяустранимой точкой разрыва.

ПРИМЕР. О.Д.З.:

, но не существует. Значит, по определению– точка разрыва первого рода, причем устранимая. Такой разрыв можно устранить: для этого нужно доопределить функцию в нуле:

–функция, непрерывная для всех

ПРИМЕР. . Точкиявляются точками разрыва первого рода этой функции, причем неустранимого.

Величина называетсяскачком функции в точке .

ПРИМЕР. . О.Д.З.

Так как и, то– точка неустранимого разрыва первого рода.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Точка называется точкойразрыва второго рода функции , если в этой точке хотя бы один из односторонних пределов бесконечен или не существует.

ПРИМЕР. . О.Д.З.

–точка разрыва второго рода,

–также точка разрыва второго рода.

ПРИМЕР. . О.Д.З.

, , не существует, значит, по определению– точка разрыва второго рода.

Свойства непрерывных функций

ТЕОРЕМА. Пусть функции непрерывны в точке. Тогдатакже непрерывны в точке.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

По определению 1 непрерывности функции в точке Тогда по теореме об арифметических операциях над функциями, имеющими предел,

так как , что и требовалось доказать.

Пусть определена функцияи– область ее значений. Кроме того,определена функция. Тогда говорят, что на множествезадана сложная функция(суперпозиция, или композиция функцийи).

ПРИМЕРЫ. 1) – композиция функцийи

2)

3)

ТЕОРЕМА (о непрерывности сложной функции). Пусть функция непрерывна в точкеиКроме того, функциянепрерывна в точке. Тогда сложная функциянепрерывна в точке.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как непрерывна в точке, то по определению 1Так какнепрерывна в точке, тоНайдемЧто и требовалось доказать.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Элементарной называется всякая функция, которая задана одним аналитическим выражением, составленным из простейших элементарных функций при помощи четырех арифметических действий и суперпозиций, примененных конечное число раз.

ЗАМЕЧАНИЕ. Из доказанных теорем следует, что все элементарные функции непрерывны в области определения.

ПРИМЕРЫ. 1) – элементарной не является, так как задана двумя аналитическими выражениями.

2) – элементарной не является, так как представляет собой сумму бесконечного числа слагаемых.

3) – элементарная функция, она непрерывна всюду, где определена.

Пусть определенаЕсли каждому значению(илисоответствуетединственное значение , то говорят, что функция–обратная для функции .

y y О x Рис. 9

ПРИМЕРЫ. 1) –обратная функция не существует (рис.9): любому значению соответствует два значения.

y y x О x Рис. 10

2) – обратная функция определена и(рис. 10).

3) – обратная функция не существует. Но если рассматривать только, то– обратная функция (рис. 11). Обратная функция существует также, если считать, например, чтоилии т.д, так как одному значениюна каждом из этих промежутков соответствует единственное значение.

y 1 О x -1 Рис. 11

y y 1 О x x Рис.12

4) Обратная функция(рис.12).

Как видно из рассмотренных примеров, существование обратной функции связано с монотонностью функции .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция называетсявозрастающей (убывающей) на множестве Х, если

Возрастающие или убывающие функции называются строго монотонными.

ТЕОРЕМА (о непрерывности обратной функции). Пусть функция непрерывна и строго монотонна наиТогда на(или на) определена обратная функция, также непрерывная и строго монотонная.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть, например, возрастает на, то есть еслии, тоПокажем, чтотакже возрастает, то есть если, то. Предположим противное:Тогда, так как по условиювозрастает, точто противоречит выбору. Таким образом,возрастает.

y О x Рис. 13

Пусть – произвольная точка,Покажем, чтонепрерывна в точке, то естьПо определению 2 предела функции в точке по Коши это означает, что

Пусть произвольно и такое, что.(рис. 13). Так каквозрастает, то

Выберем так, чтоЕсли, то, так кактоже возрастает. Таким образом,, что и означает непрерывность обратной функции.

ТЕОРЕМА (об устойчивости знака непрерывной в точке функции). Пусть непрерывна в окрестности точкиитогда существуеттакое, чтодля всех

Эта теорема имеет ясный геометрический смысл: если непрерывная функция положительна (отрицательна) в точке , то она положительна (отрицательна) и где-то рядом.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть, например, Так какнепрерывна в точке, то по определению 2 предела функции в точке

Пусть

Случай рассматривается аналогично с

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция называется ограниченной сверху (снизу) на множестве, еслитакое, что

Функция, ограниченная снизу и сверху, называется ограниченной на , то есть

ТЕОРЕМА (первая теорема Вейерштрасса). Всякая непрерывная на отрезке функция ограничена на этом отрезке (без доказательства).

ЗАМЕЧАНИЕ. Непрерывная функция, заданная на интервале, может быть неограниченной.

y 0,5 О 2 x Рис. 14

Очевидно, то есть функция ограничена снизу, но сверху на этом интервале функция неограниченна (рис. 14).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Точка называется точкой локального максимума (минимума) функции, если

Точки локального максимума или минимума называются токами локального экстремума (или просто точками экстремума) (рис.15).

y x0 О x1 x2 x Рис. 15 –точки максимума, – точка минимума.

ПРИМЕР.

y 2 1-δ1 1+δx Рис. 16

– точка максимума (рис. 16).

ТЕОРЕМА (вторая теорема Вейерштрасса). Всякая непрерывная на отрезке функция достигает на этом отрезке своих наименьшего и наибольшего значений (без доказательства).

y

a О b

х₀

Рис. 17

Как видно из рисунка 17, наибольшее и наименьшее значения достигаются либо на концах отрезка, либо в точках локального экстремума: точка минимума,правый конец отрезка.

ЗАМЕЧАНИЕ. Непрерывная функция, заданная на интервале, может не иметь ни наименьшего, ни наибольшего значений (рис. 18).

y О 2 x Рис. 18

, то есть функция на ограничена, но наибольшее значениеи наименьшеенедостижимы.

ТЕОРЕМА (Больцано – Коши). Пусть непрерывна для всехиТогда существует точкатакая, что

Геометрический смысл этой теоремы ясно виден на рисунках: перейти с верхней полуплоскости на нижнюю, двигаясь вдоль графика непрерывной функции, не пересекая ось, нельзя (рис. 19, 20).

y a c b x Рис. 19

y a c4 b c1c2c3c5 x Рис. 20

Без доказательства.

ТЕОРЕМА (о промежуточных значениях). Пусть функция непрерывна для всехи– ее наименьшее и наибольшее значения соответственно. Тогда для любого значениянайдетсятакое, что

Теорема утверждает, что непрерывная функция принимает все промежуточные значения между своими наибольшим и наименьшим значениями.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим , при этомпо теореме 6. ПустьЭта функция непрерывна при всехпо теореме 1. Кроме того, очевидно,Тогда для функциивыполнены условия теоремы 7, то есть существует точкатакая, чтоЧто и требовалось доказать.