Первый замечательный предел

Докажем, что Это равенство называетсяпервым замечательным пределом.

Рассмотрим единичную окружность и угол радиан. Так както можно считать, что

y C A В 0 1 x Рис. 7

Очевидно, что (рис. 7). Так как Разделим неравенство на

Все выражения здесь положительны, поэтому перейдем к обратным величинам:

(4)

Так как функции – четные, то есть

то неравенство (4) верно для всех Рассмотрим произвольнуюИз (4) имеем:при этом

Тогда по принципу двустороннего ограничения (теорема 12) сходится иПо определению 1 предела функции в точке по Гейне получаем требуемое:

ЗАМЕЧАНИЕ. Доказанное означает, что в точке б.м. функциииэквивалентны:

ПРИМЕРЫ.

1)Вычислить

Пусть Еслито

или по-другому: согласно принципу замены б.м.

2)

Таким образом,

При рассмотрении неопределенностей вида можно пользоваться следующими соотношениями: при

ПРИМЕРЫ. 1) Вычислить . При

поэтому

2)

так как

ЗАМЕЧАНИЕ. Принципом замены б.м. надо пользоваться внимательно. В следующих примерах он не применим.

1) так как числитель ограничен, а знаменатель стремится к бесконечности,

2) – этот предел неопределенностью не является,

3) так как.

Непрерывные функции

Пусть входит в область допустимых значений функции, причемне является изолированной точкой.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Функция называется непрерывной в точке, если

1) существует конечный существуют конечные и равные односторонние пределы функции в этой точке:

2)

Точки, в которых функция не является непрерывной, называются точками разрыва.

Из определения 1 следует, что Разностьназываетсяприращением аргумента, а разность – соответствующим этому приращениюприращением функции. Обозначим

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Функция называется непрерывной в точке, еслигде– приращение функции, соответствующее приращению аргументав точке.

y 2 1 -1 О 2 4 x Рис. 8

ПРИМЕР. Исследовать функцию на непрерывность в точках (рис. 8).

1) в точкефункция непрерывной не является, то есть–точка разрыва.

2) также является точкой разрыва.

3) в точкефункция непрерывна.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция называется непрерывной на интервале, если она непрерывна во всех его точках.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция называется непрерывной в точкесправа (слева), если она определена в этой точке и

1) существует конечный

2)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция называется непрерывной на отрезке , если она непрерывна во всех его внутренних точках и непрерывна справа в точкеи слева в точке.

График непрерывной функции можно нарисовать без отрыва. Можно показать, что все простейшие элементарные функции

непрерывны на всей области определения.

Непрерывность, например, функции в точкеозначает, что