Свойства бесконечно малых последовательностей

Если ,две последовательности, тоназывается их суммой,разностью,произведением, ачастным.

ТЕОРЕМА 1. Сумма двух б.м. последовательностей бесконечно мала.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть б.м. По определению это значит, что

Пусть б.м. По определению

Надо доказать, что

Зададим произвольное . Тогда длядляПусть, тогдачто и требовалось доказать.

ТЕОРЕМА 2. Разность двух б.м. последовательностей бесконечно мала.

Доказать самостоятельно, используя неравенство

ТЕОРЕМА 3. Произведение б.м. последовательности и ограниченной бесконечно мало.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть б.м., аограничена .Тогда по определениюи

Надо доказать, что

Зададим произвольное Тогда дляПоэтомуЧто и требовалось доказать.

ТЕОРЕМА 4. Всякая бесконечно малая последовательность ограничена.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть б.м. Тогда по определению

Положим Тогда

СЛЕДСТВИЕ. Если иб.м., тотакже б.м. :по теореме 4 ограничена, тогда по теореме 3б.м.

ПРИМЕР. – б.м. Тогдатакже б.м. И вообще– б.м.

Сходящиеся последовательности и их свойства

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. называется сходящейся, если– б.м. Числов этом случае называется пределом последовательности:. Кроме того, предел можно обозначать так:

ПРИМЕР. =Пусть– б.м. Значит, по определениюсходится к 2:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Число называется пределом, еслиПоследовательность, имеющая предел, называется сходящейся.

Интервал называется-окрестностью точки.

Из определения 2 следует, что то есть

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. называется сходящейся, еслитакое, что в любой его-окрестностисодержатся все члены последовательности, начиная с некоторого.

Очевидно, определения 1, 2, 3 сходящейся последовательности эквивалентны.

ЗАМЕЧАНИЕ 1. Всякую бесконечно большую последовательность будем трактовать как сходящуюся к бесконечности, именно: еслитоа еслито

ЗАМЕЧАНИЕ 2. Из определения 3 следует, что отбрасывание любого конечного числа членов не изменяет факта ее сходимости и величину ее предела.

ЗАМЕЧЕНИЕ 3. Из определения 3 следует, что если сходится, то имеет единственный предел. Действительно, пусть

Рассмотрим непересекающиеся окрестности точек и. Все членыне могут находиться одновременно в них обеих, следовательно,=.

Последовательность, не имеющая предела, называется расходящейся.

ПРИМЕР. 1,0,-1,0,1,0,… Очевидно (определение 3), чторасходится, то естьне существует.

ПРИМЕР. – б.м. Очевидно (определение 1), что:– б.м.

Таким образом, если произвольная б.м., то

ТЕОРЕМА 5. Если сходится, тоограничена.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По определению 1 – б.м. ТогдаПо теореме 4ограничена, то естьограничена, что и требовалось доказать.

ЗАМЕЧАНИЕ. По теореме 5 всякая сходящаяся последовательность ограничена. Обратное утверждение неверно: не всякая ограниченная последовательность сходится.

ПРИМЕР. расходится, но, то естьограничена.

ТЕОРЕМА 6. Пусть Тогдасходится и

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По определению 1 где– б.м. Тогда– б.м. по теореме 1. По определению 1

ТЕОРЕМА 7. Пусть Тогдасходится и

Доказать самостоятельно, используя определение 1 и теорему 2.

ТЕОРЕМА 8. Пусть Тогдасходится и

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По определению 1 где– б.м. Тогда– б.м. по теоремам 3,4,1. Что и требовалось доказать.

ТЕОРЕМА 9. Пусть Тогдаопределена, начиная с некоторого номера, сходится и

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как , то выберем-окрестность точки, не содержащую 0. По определению 3 в выбранной-окрестности содержатся все, начиная с некоторогоЗначит,Отбросим всепри(на факт сходимости и величину пределаэто не повлияет ).

По определению 1 где– б.м.– б.м. по теоремам 2,3,5. Отсюда

ПРИМЕРЫ. а) Найти . Так как, то теорему 9 применить нельзя. Предел, говорят в этом случае, представляет собойнеопределенность вида . Чтобы вычислить его, илираскрыть неопределенность, преобразуем выражение, разделив числитель и знаменатель на :=. Ответ получен с помощью теорем 6,7,8,9 и уже доказанного факта:

б)

в)

Анализируя рассмотренные пределы и способ их вычисления, можно сформулировать ПРАВИЛО:

, где – степенные функции, зависящие от,– старшая степень числителя,– старшая степень знаменателя,– коэффициент при старшей степени переменнойв числителе,– коэффициент при старшей степени переменнойв знаменателе.

ПРИМЕРЫ. а) , так как

б) , так как