Дифференцирование сложной функции

ТЕОРЕМА (о производной сложной функции). Пусть функция дифференцируема в некоторой точке, а функциядифференцируема в соответствующей точке, тогда сложная функциядифференцируема в точкеи.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Зададим Тогда функцияполучит приращение(быть может), а функция– приращениеТак как функциядифференцируема в точке, то по определениюгде. Разделимна:По условиюдифференцируема, значит,ипо теореме о связи непрерывности и дифференцируемости. Таким образом, если, тоОтсюда имеем:

Итак, , что и требовалось доказать.

ПРИМЕР. Найти производную функции .

Это сложная функция:

Поэтому

Дифференцирование обратной функции

ТЕОРЕМА (о производной обратной функции). Пусть функция удовлетворяет условиям теоремы о непрерывности обратной функции в некоторой окрестности точки, дифференцируема в этой точке иТогда обратная функциядифференцируема в соответствующей точкеи

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Зададим приращение Так как по условию теоремы о непрерывности обратной функцииистрого монотонны, тоТогдаПо условию функциядифференцируема, значит, непрерывна, поэтомутакже непрерывна по теореме о непрерывности обратной функции. Отсюда(определение 2).

так как по условию дифференцируема иЧто и требовалось доказать.

Дифференцирование суммы, разности, произведения и частного

ТЕОРЕМА. Пусть дифференцируемы в некоторой точке. Тогда их сумма, разность, произведение и частное (при) также дифференцируемы в этой точке и

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Формулу вывести самостоятельно.

Рассмотрим функцию .Зададим приращение, тогда

так как дифференцируема по условию, значит, непрерывна, а потому

Пусть

так как по условию дифференцируема, значит, непрерывна, а потомуЧто и требовалось доказать.

ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ

1.	2.	3.
4.	5.	6.
7.	8.	9.
10.	11.	12.
13.	14.

Докажем приведенные формулы, используя определение производной и доказанные теоремы.

7.

По определению производной

так как (первый замечательный предел) и функциянепрерывна.

8.

Используем формулы приведения и теорему о производной сложной функции:

9.

Доказать самостоятельно, используя формулы 7, 8 и теорему о производной частного:

10.

Доказать самостоятельно.

5.

По определению

так как (второй замечательный предел) и– непрерывная функция.

ЗАМЕЧАНИЕ. Так как , то

Найдем производную функции По определению модуля

, поэтому , то есть

3.

Функция – обратная для функцииПо теореме о производной обратной функции

но

11.

Рассмотрим функцию – обратная функция, поэтому по теореме о производной обратной функции имеем:

так как

Заметим, что функция дифференцируема во всех точках, ане существуют.

12.

Воспользуемся известным тождеством:

13.

Для функции – обратная, поэтому

14.

Воспользуемся тождеством:

2.

по теореме о производной сложной функции и формулам 4 и 6.

ПРИМЕРЫ. Найти производные функций

и

1. – сложная функция: