8.2. Определенный интеграл на отрезке

Сформулированное выше определение определенного интеграла является неконструктивным: его очень непросто применить на практике. Поэтому нашей дальнейшей целью будет вывести удобные правила для вычисления каждого из пяти типов определенного интеграла, следующие непосредственно из определения.

Пусть – непрерывная функция и.

у В А х О Рис. 11

По определению определенного интеграла

1. разобьем напроизвольных достаточно малых частей,

2. выберем произвольные точки и вычислим,

3. найдем -ую интегральную сумму. Она численно равна площади ступенчатой фигуры (рис. 11), ограниченной отрезкомоси, графиком функции и прямымии.

4. очевидно, что численно равен площади криволинейной трапеции(рис.11), (если этот предел существует).

Геометрический смысл определенного интеграла на отрезке: определенный интеграл от неотрицательной на отрезке функции численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции и отрезкомоси абсцисс.

ЗАМЕЧАНИЕ. Очевидно, что , то есть переменную интегрирования вопределенном интеграле можно переобозначать: величина интеграла от этого не зависит.

ЗАМЕЧАНИЕ. Если имеет наконечное число точек

разрыва первого рода (рис.12), то вычислить площадь, ограниченную графиком функции и отрезком , возможно, поэтому, очевидно, определенный интеграл от такой функции на этом отрезке существует: .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция называетсяинтегрируемой на отрезке , если существует определенный интеграл.

Таким образом, всякая кусочно-непрерывная на заданном отрезке функция интегрируема на этом отрезке.

ТЕОРЕМА (о среднем значении). Пусть функция непрерывна. Тогда существует точкатакая, что

(8.1)

ЗАМЕЧАНИЕ. С геометрической точки зрения теорема утверждает, что существует прямоугольник, равновеликий криволинейной трапеции, имеющий равное с ней основание (если ).

Значение называетсясредним значением функции на отрезке:

.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как непрерывна, то по второй теореме Вейерштрасса (см. гл. 4)достигает насвоих наибольшегои наименьшегозначений:всюду на отрезке.

Проинтегрируем это неравенство на (свойство 5):

.

Отсюда по свойствам 1, 2 определенного интеграла получим:

, так как .

По теореме о промежуточных значениях (см. гл.4) принимает все промежуточные значения междуи, в том числе и значение. Таким образом, существует, по крайней мере, одна точкатакая, что . Что и требовалось доказать.

8.3. Связь неопределенного интеграла с определенным. Формула Ньютона-Лейбница

Рассмотрим функцию . Величина определённого интеграла от этой функциизависит оти. Если зафиксировать значение, то величинабудет зависеть только от. Зафиксируем нижний предел интегрирования, а верхний будем считать переменным. Чтобы подчеркнуть переменность верхнего предела интегрирования, обозначим его. Величина определённого интеграла, как уже было отмечено, не зависит от обозначения переменной интегрирования, поэтому, чтобы не путать её с верхним пределом, заменим переменнуювнутри интеграла на.

Таким образом, получим функцию . Она называетсяопределённым интегралом с переменным верхним пределом.

ТЕОРЕМА (о производной интеграла с переменным верхним пределом). Пусть интегрируемая на отрезке функциянепрерывна в точке. Тогда.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По определению производной

.

– здесь мы воспользовались свойством 3 аддитивности определенного интеграла. Отсюда по теореме о среднем значении

,

где – междуи. Следовательно,, так как, когда. Что и требовалось доказать.

ЗАМЕЧАНИЕ. Из теоремы следует, что – одна из первообразных функциина, так как. Значит, если– другая первообразная, то.

ТЕОРЕМА (Ньютона–Лейбница). Пусть функция непрерывнаи– одна из её первообразных. Тогда

(8.2)

Формула (8.2) называется формулой Ньютона–Лейбница.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим функцию . По теореме о производной определённого интеграла с переменным верхним пределом она является первообразной дляна. Следовательно, если– некоторая другая первообразная для, то.

При ,

но

.

При :,

откуда

.

Переобозначив переменную интегрирования, получим требуемое:

.

ЗАМЕЧАНИЕ. Следует обратить внимание на важность сформулированного в теореме требования непрерывности функции на всем отрезке интегрирования. Небрежное применение формулы Ньютона-Лейбница может привести к заведомо неверному результату.

ПРИМЕР. Вычислить и.

Если использовать для вычисления первого интеграла формулу Ньютона-Лейбница, то получается, что . Но подынтегральная функция, поэтому полученный результат противоречит свойству 4 определённого интеграла. Причина этого в том, что функцияимеет в точкеразрыв второго рода (рис. 14), то есть не является на отрезке

интегрируемой, а, значит, формулу Ньютона-Лейбница применить здесь нельзя. Но она непрерывна, поэтому для вычисления второго интеграла формулу Ньютона-Лейбница применить можно: .

ПРИМЕР. Вычислить от функции, заданной на отрезке

двумя аналитическими выражениями: (рис. 15). Для вычисления такого интеграла надо воспользоваться свойством 3 аддитивности определенного интеграла:

.

Замечание. Из формулы Ньютона-Лейбница следует, что

, (8.3)

так как .