7.5. Интегрирование рациональных дробей

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Дробно-рациональной функцией (рациональной дробью) называется функция вида ,

где – многочлен степени,

–многочлен степени .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Рациональная дробь называется правильной, если ; если– тонеправильной.

ПРИМЕРЫ. – неправильная рациональная дробь:;

–правильная рациональная дробь: ;

–неправильная рациональная дробь: ;

–правильная дробь: .

Процесс интегрирования рациональных дробей состоит из нескольких этапов и опирается на некоторые факты из высшей алгебры, которые мы примем без доказательства.

УТВЕРЖДЕНИЕ 1. У всякой неправильной рациональной дроби можно выделить целую часть, то есть представить ее в виде многочлена и правильной рациональной дроби.

ПРИМЕР. :

1– целая часть этой рациональной дроби (многочлен нулевой степени),

–правильная дробь.

.

ПРИМЕР. Чтобы выделить целую часть из неправильной дроби , надо числитель разделить на знаменатель, используя алгоритм деления «уголком» с остатком:

.

В этом случае – целая часть (многочлен первой степени),– остаток от деления, поэтому

.

Таким образом, задача интегрирования рациональной дроби сводится к задаче интегрирования многочлена и правильной рациональной дроби.

УТВЕРЖДЕНИЕ 2. Для того, чтобы найти интеграл от правильной рациональной дроби, надо разложить ее знаменатель на множители. Всякий многочлен можно представить в виде произведения линейных множителей и квадратных трехчленов с отрицательным дискриминантом

.

Если в разложении многочлена на множители есть линейный множитель , то числоназываетсякорнем многочлена.

ПРИМЕР. Разложить на множители .

Старший коэффициент этого многочлена – при – равен единице. Такие многочлены называютсяприведенными. Чтобы разложить его на множители, необходимо найти хотя бы один его корень. Для этого воспользуемся следующим фактом.

ТЕОРЕМА (Безу). Если приведенный многочлен с целыми коэффициентами имеет целые корни, то они являются делителями его свободного члена.

Свободный член многочлена . Делителями числа 12 являются. Проверяя поочерёдно эти числа, убеждаемся, что 1 и –1 не являются корнями, а– корень:. Это значит, что в разложениина множители есть линейный множитель. Разделимна«уголком» (без остатка):

.

Отсюда . Это означает, что многочленимеет три действительных корня:и. Кореньназываетсяпростым корнем: в полученном разложении ему соответствует линейный множитель . Значениеназывается корнем кратности 2 (кратным корнем), так как в разложении на множители ему соответствует множитель второй степени.

Таким образом, .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Простейшими рациональными дробями называются дроби вида

,

где .

УТВЕРЖДЕНИЕ 3. Всякая правильная рациональная дробь может быть разложена в сумму простейших. При этом если в разложении знаменателя есть множитель , то ему соответствуетслагаемых в разложении дроби в сумму простейших: одно слагаемое типаислагаемое типа; множителюсоответствует слагаемое типа; множителюсоответствует одно слагаемое типаислагаемое типа.

Таким образом, число слагаемых, соответствующих каждому сомножителю знаменателя, в разложении правильной дроби в сумму простейших равно степени, в которой этот сомножитель входит в разложение знаменателя на множители.

Следовательно, задача интегрирования правильной рациональной дроби сводится к задаче разложения ее в сумму простейших и интегрированию дробей вида .

При определении коэффициентов разложения правильной дроби в сумму простейших применяется метод неопределенных коэффициентов.

Поясним сказанное на примерах.

ПРИМЕР. Написать вид разложения в сумму простейших следующих правильных дробей

а) ; б);

в) .

а) Знаменатель дроби содержит четыре множителя, поэтому, то есть сумма состоит из четырех слагаемых: по одномуI и III типов и два слагаемых II типа.

б) Квадратный трехчлен имеет отрицательный дискриминант, поэтому в разложении в сумму простейших дробибудут слагаемыеI, III, IV типов: .

в) В знаменателе дроби – шесть сомножителей, следовательно,

.

Неопределенные коэффициенты А, В, С, … в написанных равенствах должны быть найдены так, чтобы эти равенства выполнялись тождественно.

ПРИМЕР. Разложить в сумму простейших правильную дробь

.

Представим эту дробь в виде суммы: , где– не определенные пока коэффициенты, и теперь задача состоит в том, чтобы найти их.

Приведя сумму, стоящую справа, к общему знаменателю, приравняем числители дробей в обеих частях равенства:

.

Далее можно действовать двумя способами.

Способ 1. Это равенство является тождеством, то есть справедливо при всех значениях .

Пусть , тогда, подставив это значение в правую и левую часть, получим:.

При ; при.

Заметим, что – действительные корни знаменателя рассматриваемой дроби. При этих значенияхx соответствующие неопределенные коэффициенты нашлись совсем просто. Так как отличных от этих корней знаменатель не имеет, то для определения коэффициента А можно было взять любое другое (вместо ) значение. Например, при:

.

Способ 2. Так как это равенство является тождеством, то коэффициенты при одинаковых степенях слева и справа равны. Поэтому раскроем скобки в правой части равенства и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях:

Решая полученную систему линейных уравнений, найдем неизвестные коэффициенты .

Анализируя оба способа нахождения неопределенных коэффициентов, можно сделать следующий вывод:

способ 1 надо применять, когда все корни знаменателя действительны и различны; если это не так, то способ 1 следует применить для нахождения тех коэффициентов, где это удобно, а для нахождения оставшихся применить способ 2, написав уже не все уравнения, а лишь столько, сколько необходимо для определения ненайденных коэффициентов.

В рассмотренном примере легко находятся и:

.

Так как осталось определить лишь , составим еще одно уравнение, приравняв коэффициенты, например, присправа и слева:.

Итак, теперь все готово для того, чтобы найти первообразную рациональной дроби .

ПРИМЕР. Найти .

.

ВЫВОД. Для того чтобы проинтегрировать рациональную дробь, надо

1. выделить целую часть, если дробь неправильная;

2. разложить знаменатель на линейные множители и квадратные трехчлены с отрицательным дискриминантом;

3. разложить правильную рациональную дробь в сумму простейших;

4. проинтегрировать многочлен и простейшие дроби.