1.7. Учет погрешностей при косвенных измерениях

В большинстве случаев величина, интересующая экспериментатора, не может быть измерена непосредственно. Тогда используют косвенные измерения.

При косвенном измерении значение искомой величины находят по некоторой известной зависимости от параметров , значения которых можно определить в результате прямых измерений:

(14)

При этом могут встретиться две ситуации.

1.7.1. Прямые измерения величин проводятся в одних и тех же условиях одними и теми же приборами.

В этом случае наиболее близким к истинному значению является его среднее значение , которое получается при подстановке в (14) средних значений непосредственно измеренных величин:

.

Погрешности , с которыми определены величины , сказываются на точности определения . Поэтому истинное значение может отличаться от , т.е. оно будет определено с погрешностью .

Для нахождения интервала , в котором заключено истинное значение , применяют метод переноса ошибок, использующий дифференциальное исчисление.

а)  Пусть косвенно измеряемая величина зависит только от одной

непосредственно измеряемой величины  , то есть . В этом случае абсолютную погрешность   представляют как разность:

,

для которой справедливо приближенное выражение:

Таким образом,

. (15)

Используя методы математической статистики, можно показать, что если   определено при доверительной вероятности  , то и вероятность того, что истинное значение измеряемой величины заключено в интервале , тоже равна  .

б)  Если косвенно измеряемая величина является функцией многих переменных, т.е. , то по формуле (15) можно вычислить погрешности , , …, обусловленные погрешностями определения каждого аргумента:

,     ,    и т. д. (16)

В (16) , , ,… – частные производные функции по соответствующей переменной. (Частная производная функции многих переменных по одной переменной является обычной производной этой функции по этой переменной при условии, что все другие переменные считаются постоянными параметрами).

Общую погрешность   в этом случае можно оценить по формуле

,

или, с учётом (16):

. (17)

В (17) численные значения производных рассчитываются при значениях , и т. д., , , … – абсолютные погрешности величин , ,…, рассчитанные по методике обработки результатов прямых измерений при одной и той же доверительной вероятности  .

Относительную погрешность при косвенных измерениях вычисляют по формуле:

. (18)

Примечание. Относительную погрешность косвенных измерений можно найти непосредственно, воспользовавшись формулой:

, (19)

где ,…частные производные по соответствующим переменным.

Абсолютная погрешность в этом случае вычисляется по формуле

. (20)

1.7.2. Прямые измерения величин проводятся при невоспроизводимых условиях, т.Е. Тогда, когда условия проведения опытов изменяются от опыта к опыту.

В этом случае значение косвенно определяемой величины   вычисляется для каждого конкретного опыта: , , и т.д. Полученные значения обрабатываются как результаты прямых измерений, а именно, определяется среднее арифметическое значение

и соответствующая ему случайная погрешность (см. 2).

За величину полной абсолютной погрешности обычно принимают .

Примечание. Если результаты вычислений оказались одинаковыми (такие ситуации встречаются редко), то в качестве абсолютной погрешности берут приборную погрешность . Для ее определения с помощью (17) или (19) выводят расчетную формулу для абсолютной  () или относительной погрешности величины . В формулу в качестве подставляют приборные погрешности , , , а в качестве подставляют значения какого-либо одного из опытов. Для того чтобы не получить сильно завышенное или сильно заниженное значение приборной погрешности, выбирается опыт с промежуточными (не минимальными и не максимальными) значениями параметров . Полная погрешность в этом случае .