3. Потенциальная энергия растянутой пружины или стержня.

Рассчитаем работу внешней силы, изменяющейся пропорционально смещению точки

F = kx на пути от х₀ = 0 до х.

_{; (1.2)}

Работа силы упругости при растяжении на x : ;

4. Закон сохранения механической энергии.

Рассмотрим систему материальных точек массами m₁, m₂,… m_n, движущихся со скоростями ₁, ₂ ..._n. Пусть F₁’, F₂’ ..., F_n’, — равнодействующие внутренних консер­вативных сил, действующих на каждую из этих точек, a F₁, F₂, ..., F_n, — равнодейст­вующие внешних сил, которые также будем считать консервативными. Кроме того, будем считать, что на материальные точки действуют еще и внешние неконсервативные силы; равнодействующие этих сил, действующих на каждую из материальных точек, обозначим f₁, f₂, ..., f_n.

При  с массы материальных точек постоянны и уравнения второго закона Ньютона для этих точек следующие:

_(1.2)

Двигаясь под действием сил, точки системы за интервал времени dt совершают перемещения, соответственно равные dr₁, dr₂, ..., dr_n. Умножим каждое из уравнений скалярно на соответствующее перемещение и, учитывая, что dr_i=_i dt, получим

_(1.2)

Сложив эти уравнения получим:

В этом уравнении первый член представляет собой изменение кинетической энергии W_K, второй – изменение потенциальной энергии системы W_П, а - работу внешних неконсервативных сил, действующих на систему.

_{d(WK + WП) = A}

_{При переходе системы из состояния 1 в состояние 2}

_{; (1.2)}

Т.е. изменение полной механической энергии системы при переходе из одного состояния в другое равно работе, совершенной при этом внешними неконсервативными силами.

Если внешние неконсервативные силы отсутствуют, то

d(W_K + W_П)=0 и

W_K + W_П = const.

4. Динамика твердого тела.

1. Момент силы и момент импульса относительно оси.

1. Уравнение движения вращающегося тела

- момент силы, действующий на тело

Момент силы – псевдовекторная величина равная произведению силы действующей на тело, на плечо этой силы

В кинематике мы представляли угловое ускорение вектором, параллельным оси вращения. Так как правая часть равенства есть модуль векторного произведения , то, выбрав указанный порядок умножения, мы получим век­тор , параллельный .

=

Величина М называется моментом силы F от­носительно оси вращения или вращающим мо­ментом.

Момент силы - псевдовектор – его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от R к F.

F₂ = Fsin, будет создавать вращение, сообщая телу ускорение.

dS = Rd = Rdt ( - угловое перемещение)

dA = =RF₂dt,

dW = Id = dA.

. есть угловое ускорение тела.

I= RF₂= RFsin.

Основное уравнение динамики вращательного движения

_(1.2)

- проекция момента силы на ось вращения.

Это уравнение по форме аналогично второму закону Ньютона: =m и является аналитическим выражением второго закона Ньютона для вращательного движения.

Если на тело действует несколько внешних сил, лежащих в плоскости вращения, то суммарный вращающий момент по принципу суперпозиции равен:

_(1.2)

По II закону Ньютона m_ia_i = F_i; ;

_(1.2)

–момент инерции тела относительно оси Z.

_{; (1.2)}

J_z= - момент импульса тела относительно оси Z.

М_z = 0,

(J_z) = 0.

J_z= const. закон сохранения момента импульса тела, вращающегося около закрепленной оси.