7. Гидродинамика идеальной жидкости

В механике жидкости понятию «гидродинамика» придается весьма широкий смысл. В настоящем пособии этот термин будет использоваться в его классическом значении, как раздел курса, который, в отличие от кинематики, рассматривающей движение жидкости без учета причин, обусловивших его, изучает как само движение, так и причины, приводящие к его возникновению. Движение жидкости вызывается действием сил, а если иметь в виду, что давление есть частное от деления силы на площадь, то можно считать, что причиной возникновения движения частиц с какими-то скоростями является разность (перепад) давлений. Таким образом, для расчета течений необходимо иметь уравнение, связывающее давление в точке со скоростью движения частицы.

7.1 Уравнения движения идеальной жидкости.

Уравнения движения идеальной жидкости можно получить из уравнений движения в напряжениях, положив в них все производные от равными нулю и заменив нормальные напряжения давлениями, имея в виду, что. Таким образом, урав­нения гидродинамики принимают вид

(7.1)

либо в векторной форме

(7.2)

Система (7.1) называется системой дифференциальных уравнений Эйлера для гидродинамики, она связывает давления и скорости в движущейся жидкости. Следует помнить, что выражения в правой части уравнений системы являются полными либо субстанциональными производными. Наличие конвективных членов ускорения приводит к тому, что система является нелинейной, содержащей четыре неизвестных: три проекции скорости и давление. Проекции единичных массовых сил обычно известны из постановки задачи.

Три уравнения (7.1) плюс уравнение неразрывности образуют замкнутую систему.

7.2 Преобразование Громеки-Лэмба.

Рассмотрение теоремы Гельмгольца о движении жидкой частицы показывает, что жидкость как любое материальное тело может участвовать в поступательном и вращательном движениях.

Следует обратить внимание на то, что для совершения работы в современных технических устройствах может использоваться только энергия поступательного движения. Энергия же вращательного (вихревого) движения полностью теряется, рассеивается в окружающей среде, превращаясь в теплоту.

Система уравнений Эйлера (7.4) не учитывает факт существо­вания этих двух движений, что в определенной степени обедняет ее. Поэтому целесообразно использовать преобразование, позволяющее учесть эту особенность движения жидких частиц, называемое преобразованием Громеки-Лэмба. Формально оно сводится к тому, что в выражение для ускорения вводятся члены, характеризующие вращение жидких частиц.

Рассмотрим лишь одну компоненту:

(7.3)

Прибавим и вычтем в конвективной части ускорения выражение

Скомпонуем члены с учетом знаков:

Выражения в скобках есть не что иное, как удвоенные компоненты вихря и, т.е. можем записать

Подставляя полученные значения в (7.3) имеем

(7.4)

и по аналогии

(7.5)

(7.6)

В векторной форме выражение для ускорения будет иметь вид:

(7.7)

Если движение установившееся, то

(7.8)

7.3 Уравнение движения в форме Громеки-Лэмба.

Если в (7.2) в правую часть подставить ускорение в виде (7.7) либо (7.8), то это приводит к уравнению движения в форме Громеки-Лэмба. Для установившегося движения имеем

(7.9)

Выполним некоторые преобразования (7.9).

В разделе гидростатики было введено понятие о скалярной функции F, называемой силовой. Было показано, что

(7.10)

Поскольку эта функция является полным дифференциалом, то можно записать

(7.11)

Сопоставляя (7.10) и (7.11), получаем

(7.12)

С другой стороны вектор , проекциями которого являютсяX, Y, и Z

(7.13)

Из (7.12) и (7.13) следует, что

(7.14)

С учетом (7.14) выражение (7.9) принимает вид

(7.15)

Следует иметь в виду, что эта форма записи справедлива лишь для несжимаемой жидкости, т.е. при условии . И, наконец, уравнению движения (7.15) можно придать более удобную для анализа форму, умножив скалярно его левую и правую части на произвольный направленный отрезок

(7.16)

Опуская эту операцию, которую обучающийся при желании может выполнить самостоятельно, приведем лишь конечный результат

(7.17)