6.5. Гидромеханический смысл функции тока.

Рис. 6.2

Установим гидромеханический смысл функции тока, для чего проведем две достаточно близко расположенные линии тока (рис. 6.2). Вычислим объемный расход жидкости, протекающий между ними, для чего разложим вектор скорости частицы на две составляющие и , что позволит представить расход как сумму , при этом и (рис. 6.2).

(6.15)

т.е. разность значений функций тока на двух смежных линиях тока равна объемному расходу между ними.

6.6. Связь потенциала скорости и функции тока.

Связь между этими параметрами может быть легко установ­лена, если записать полученные выше выражения для проекций скоростей

; ;

; ,

откуда

; (6.16)

Эти соотношения играют чрезвычайно важную роль в механике жидкости и носят название соотношений Коши-Римана. Более подробно они будут рассмотрены ниже. Пока же ограничимся тем, что перемножим их. Это дает

(6.17)

Рис. 6.3

Из математики известно, что выражения типа (6.17) свидетельст­вуют о взаимной ортогональности кривых. Следовательно, линии тока и эквипотенциальные линии образуют сетку взаимно ортогональных кривых, которая носит название гидродинамической сетки движения. Примерный ее вид показан на рис. 6.3.

6.7. Методы расчета потенциальных потоков.

Как уже отмечалось, для нахождения потенциала скорости необходимо проинтегрировать уравнение Лапласа при заданных граничных условиях. Задача эта достаточно сложна. Поэтому в теории потенциальных течений особый интерес представляют случаи, которые дают точные значения функций тока и потенциала скорости без интегрирования уравнения Лапласа. Общая идея такого подхода сводится к следующему: задаются какой-то функцией, которая заведомо удовлетворяет уравнению Лапласа и выясняют, что представляет собой гидродинамическая сетка движения. Эту методику рассмотрим на ряде простейших примеров.

Пример 6.1. Пусть выражение для потенциала скорости имеет вид , где a и b - действительные числа.

Найдем компоненты скорости. Имеем

и .

Вторые производные равны нулю, т.е. уравнение Лапласа удовлетворяется. Так как и , то из этого следует, что поток движется с постоянной скоростью

Выясним, что представляют собой линии тока. Дифференциальное уравнение линий тока

.

И после интегрирования

(6.18)

Приравнивая (6.18) какой-то постоянной, получаем семейство линий тока - параллельных прямых, наклоненных к оси под углом (см. рис. 6.4). Действительно, для линии тока можем записать:

; .

Пример 6.2.Потенциал скорости задан выражнием

Рис. 6.4

где a - действительное число. Необходимо найти линии тока этого течения.

Прежде всего проверим, удовлетворяет ли j уравнению Лапласа. Имеем ; ; ; ;

,

т.е. уравнение Лапласа удовлетворяется. Выясним, какое же движение описывается этой функцией, для чего установим вид функции тока.

Следовательно, (произвольная постоянная в данном случае нас не интересует).

Рис. 6.5

Для нахождения линии тока приравняем какой-то постоянной величине либо . Следовательно, линии тока - гиперболы, для которых оси x и y - асимптоты. На рис. 6.5 показаны линии тока для верхней половины. Если считать, что оси координат являются твердыми стенками, то получим картину обтекания потоком прямого угла.

Существует ряд простейших течений, для которых потенциалы скорости могут быть получены аналитическим путем. Эти течения играют заметную роль в гидромеханике, и поэтому их рассмотрение представляет несомненный интерес.

Пример 6.3.Источник (сток) на плоскости. Ограничимся плоской задачей. Интересующиеся объемной (трехмерной) задачей могут найти ее в книге: Талиев В.Н. Аэродинамика вентиляции. - М.: Изд. по строительству и архитектуре, 1954. - 287 с.

Рис. 6.6

Под источником (стоком) на плоскости понимают точку, из которой происходит истечение (либо втекание) жидкости. Пусть точка O на рис. 6.6 представляет плоский источник, из которого, как из центра, проведем несколько концентрических окружностей. Запишем уравнение неразрывности для цилиндрической поверхности единичной высоты:

откуда

(6.19)

В декартовой системе координат

(6.20)

В рассматриваемом случае удобней использовать цилиндрическую систему координат. Увязка систем может быть получена, исходя из рис. 6.7. Для цилиндрической системы

; (6.21)

Рис. 6.7

Вывод этих соотношений можно найти в книге: Аржаников Н.С., Мальцев В.Н. Аэродинамика. - М.: Оборонгиз, 1956. - 483 с. Из (6.21) следует, что не зависит от полярного угла, поэтому можно записать . Приравнивая это выражение (6.19), получим , откуда .

И после интегрирования

. (6.22)

Из (6.22) следует, что эквипотенциальные линии источника представляют собой окружности. Формулу (6.22) можно записать и в следующей форме

(6.23)

Для нахождения функции тока удобней использовать декартову систему координат. При этом (6.19) принимает вид:

(6.24)

С другой стороны, из рис. 6.7 следует:

Таким образом

Аналогично

Дифференциальное уравнение функции тока

(6.25)

Подстановка значений и в (6.25) дает

(6.26)

Выполним некоторые преобразования. Дифференциал от частного имеет вид , т.е. .

Из знаменателя (6.26) выносим за скобки , при этом

Таким образом, (6.26) принимает вид

и .

Но с другой стороны , т.е. , и

(6.27)

В полярной системе координат (6.27) представляет собой семейство прямых, проходящих через начало координат. Для стока потенциал скорости и функция тока имеют те же выражения, но с противоположными знаками, т.е.

и (6.28)

Иногда Q называют мощностью (обильностью) источника.