Частотные характеристики системы автоматического управления

Частотную передаточную функцию W(j), являющуюся комплексным выражением, можно представить в векторной форме. При изменении частоты входного сигнала в пределах -<< +конец вектора опишет годограф, который называютамплитудно-фазовой частотной характеристикой(АФЧХ) (рис. 38).

АФЧХ строится по точкам. Отрицательная ветвь характеристики АФЧХ при(на рис. 38 показана пунктиром) зеркально отражает ветвь. Поэтому при анализе системы достаточно построить положительную ветвь АФЧХ при изменении частоты.

Амплитудно-фазовая частотная характеристика широко применяется при исследовании систем автоматического управления, например при исследовании устойчивости системы автоматического управления.

Наряду с АФЧХ частотные свойства системы описываются также логарифмическими частотными характеристиками (ЛХ):логарифмической амплитудно-частотной характеристикой(ЛАХ) илогарифмической фазовой частотной характеристикой(ЛФХ). Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика обычно обозначается какL()и находится из соотношениядБ. Величинавыражается в децибелах.

Логарифмическая амплитудная частотная характеристика ЛАХ строится в координатахL()  , при этом для осииспользуется логарифмический масштаб. Использование логарифмического масштаба для оси частот приводит к тому, что эта ось разбивается на одинаковые участки –декады, в пределах которых частота увеличивается в 10 раз.

Логарифмическая фазовая характеристикаЛФХстроится в координатах. Координатные сетки обеих характеристик объединяются и представляются в общепринятой формуле, показанной на рис. 39.

О

Рис. 39

собенностью построений на рис. 39 является то, что положительное направление оси θ() выбирается вниз – противоположно общепринятому направлению.

По оси абсцисс оцифровка ведется в единицах частоты , сами величины откладываются в логарифмическом масштабе. Частотный интервал, соответствующий удвоению частоты, называетсяоктавой. Частотный интервал, соответствующий изменению частоты в 10 раз, называетсядекадой.

Достоинством логарифмических характеристик является их более простое построение, по сравнению с АФЧХ, а также возможность получения суммарной характеристики для соединения элементов простым суммированием ЛАХ и ЛФХ элементов.

Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика строго может быть построена в том случае, когда передаточная функция не имеет размерности. Поэтому при построении логарифмических характеристик системы передаточную функцию системы следует преобразовать к такому виду, когда коэффициент преобразования системы становится безразмерным.

Типовые звенья

В зависимости от назначения, особенностей конструкции и примененных элементов в составе той или иной системы автоматического управления могут быть самые разнообразные функциональные элементы, число которых в принципе не ограничено. Однако самые разнообразные по физической природе элементарные функциональные элементы можно описать ограниченным числом различающихся по виду дифференциальных уравнений. Названное обстоятельство приводит к тому, что число разновидностей структурных звеньев (т.е. описываемых отличающимися дифференциальными уравнениями) систем автоматического управления невелико.

Поскольку при математическом описании функционального элемента порядок дифференциального уравнения ограничивают вторым порядком, то возможны следующие пять типов описания (для обыкновенных линейных систем): дифференциальное уравнение нулевого порядка; дифференциальное уравнение первого порядка; дифференциальное уравнение второго порядка; функция интегрирования; функция дифференцирования. Перечисленные пять описаний рассматриваются в качестве типовых структурных звеньев обыкновенной линейной системы автоматического управления. Рассмотрим свойства типовых звеньев.

1. Безынерционное (усилительное) звено.

Уравнение безынерционного звена

,

где k – коэффициент усиления звена (параметр звена).

При подаче на вход звена сигнала, описываемого единичной ступенчатой функцией, на выходе получим переходную характеристику

.

Выходной сигнал для этого звена повторяет по форме входной сигнал, но усиливается вk раз. Эти свойства звена и породили его название. Графики входного сигнала и переходной характеристики звена показаны на рис. 40.

Из уравнения звена определим его передаточную функцию

,

.

Частотная передаточная функция безынерционного звена

.

Для частотной передаточной функции и. Следовательно, график АФЧХ выродится в одну точку на комплексной плоскости (рис. 41).

Логарифмические характеристики усилительного звена определятся следующим образом:

L() = 20 lg k,() = arctg 0 = 0.

Общий вид логарифмических частотных характеристик звена показан на рис. 42. Эти характеристики представляют собой прямые, параллельные оси частот. Частотные характеристики безынерционного звена свидетельствуют об идеальных динамических свойствах такого звена. Ни коэффициент усиления звена, ни фазовый сдвиг сигнала не зависят от частоты сигнала. Для реальных физических элементов такие свойства недостижимы.

Примером безынерционного звена могут служить электронный усилитель, рычажная передача (без учета массы), редуктор (без учета моментов инерции валов и шестерен) и пр. Безынерционное звено можно использовать для описания таких функциональных элементов системы, которые не оказывают существенного влияния на динамику системы.

2. Инерционное звено (апериодическое звено первого порядка).

Инерционное звено описывается дифференциальным уравнением первого порядка

,

где T– постоянная времени звена,k– коэффициент усиления звена.

Найдём переходную характеристику звена при воздействии на его вход сигнала в виде единичной ступенчатой функции . Для этого необходимо решить уравнение

.

Для решения заменим переменную , при этом,

.

Характеристическое уравнение для последнего дифференциального уравнения имеет вид

.

Характеристическое уравнение имеет единственный корень , следовательно, решение преобразованного дифференциального уравнения будет иметь следующий вид:

,

где D – постоянная интегрирования, которую необходимо определить из начальных условий. Примем в качестве начального условияy(0) = 0. Тогда

, откуда.

Перейдя от переменной z(t)к переменнойy(t),получим решение дифференциального уравнения переходной характеристики (переходную характеристику)

.

Общий вид переходной характеристики инерционного звена показан на рис. 43. Переходный процесс апериодический и имеет плавный характер. Установившееся значение выходной величины y(t)равноk, на рисунке этому значению соответствует единица.

Уровня 95 % от установившегося значения процесс достигает за время 3T, гдеT– постоянная времени инерционного звена.

За время процесс достигает значения0,63от установившегося значения выходной величины. И, наконец, если в точкеt = 0 провести касательную к графику переходного процесса, то она пересечёт уровень установившегося значения на удаленииt = Tот начала процесса. Описанные соотношения позволяют определять параметры инерционного звена на основе графика переходной характеристики, полученной, например, экспериментально.

Если записать дифференциальное уравнение инерционного звена в операторном виде

,

то легко получить выражение для передаточной функции звена

которая имеет первый порядок (порядок передаточной функции соответствует порядку дифференциального уравнения и определяется наибольшей степенью параметра pв выражении передаточной функции).

Рассмотренный вид дифференциального уравнения и экспоненциальный переходный процесс являются типичными для значительного числа различных по физической природе преобразовательных элементов систем автоматического управления. Такие элементы в структурной схеме представляются инерционными (апериодическими) звеньями для учёта их влияния на динамику системы автоматического управления.

Частотная передаточная функция инерционного звена

.

При получении выражения для частотной передаточной функции выполнены преобразования с целью исключения мнимой части из знаменателя дроби.

Модуль и фазовый угол частотной передаточной функции:

Амплитудно-фазовая частотная характеристика инерционного звена имеет вид, показанный на рис. 44. Ветвь, соответствующая отрицательным частотам, располагается над вещественной осью, положительным частотам – под вещественной осью. Кривая образует правильную окружность.

При нулевой частоте точка АФЧХ лежит на вещественной оси на удалении k от начала координат. Вектор, проведённый из начала координат в точку, соответствующую частоте, образует угол 45° с положительным направлением вещественной оси, т.е. инерционное звено на этой частоте имеет фазовый сдвиг, равный 45°. Максимальный фазовый сдвиг звена составляет 90°.

Кроме графика АФЧХ на рис. 44 показаны так называемые круговые диаграммы замыкания, которые используются для анализа качества системы и будут нами обсуждены в соответствующем разделе курса.

Логарифмическая амплитудная частотная характеристика

.

Эта характеристика обладает следующими свойствами:

,.

Логарифмическая фазовая частотная характеристика

,

при этом ,,.

Общий вид ЛАХ и ЛФХ для инерционного звена показан на рис. 45. При низких частотах ЛАХ (кривая 1) близка к горизонтальной прямой линии, а при высоких частотах ЛАХ близка к прямой с наклоном – 20 дБ/дек. Наибольшая кривизна ЛАХ наблюдается в окрестностях частоты =1/T.

На практике часто используют для инерционного звена асимптотическую ЛАХ, состоящую из горизонтального отрезка прямой, проходящей на уровне20lgk, и отрезка прямой с наклоном – 20 дБ/дек, стыкующегося с первым отрезком на частоте=1/T(ломаная линия 2 на рисунке). Погрешность от такой замены не превышает 3 дБ.

Частота =1/Tназывается частотой сопряжения. На этой частоте фазовый угол звена составляет 45°. При изменении частоты от нуля до бесконечности фазовый угол звена изменяется в пределах от нуля до 90°.

3. Колебательное звено.

Колебательное структурное звено описывается дифференциальным уравнением второго порядка

.

Параметрами колебательного звена являются постоянные времени и, а также коэффициент усиленияk.

Для нахождения выражения переходной характеристики звена необходимо решить приведенное уравнение при . Решение будет определяться корнями характеристического уравнения

или.

С учетом корней характеристического уравнения и начальных условий, получаем следующее решение дифференциального уравнения:

,

где и.

Вид переходной характеристики будет зависеть от соотношения вещественной и мнимой частей корней характеристического уравнения. При корни комплексные сопряжённые и переходная характеристика имеет характер затухающих колебаний. Частота колебаний определяется мнимой частью корня, а скорость затухания – вещественной частью корня α.

Если , то получаются два вещественных корня характеристического уравнения. При этом колебательность процесса исчезает и колебательное звено ведёт себя как последовательное соединение двух инерционных звеньев. В этом случае колебательное звено вырождается вдвойное апериодическое звено.

Приполучаются чисто мнимые корни характеристического уравнения и колебательный процесс на выходе звена перестаёт затухать. Колебательное звено превращается вконсервативное звенос незатухающими колебаниями постоянной амплитуды на выходе. Вид переходных характеристик для трёх рассмотренных случаев показан на рис. 46.

Колебательная затухающая характеристика 1 соответствует комплексным корням характеристического уравнения, апериодическая характеристика 2 – вещественным корням характеристического уравнения, незатухающие колебания 3 – мнимым корням характеристического уравнения.

Поскольку соотношение существенно влияет на свойства колебательного звена, то для этого звена вводят параметр, называемый коэффициентом относительного затухания (степенью успокоения). Чем меньше коэффициент затухания, тем сильнее выражен колебательный процесс и тем дольше он затухает. С учётом коэффициента относительного затухания дифференциальное уравнение звена записывают несколько иначе:

.

По виду переходной характеристики колебательного звена, снятой экспериментально, можно установить его параметры. Определение параметров показано на рис. 47, при этом используются следующие зависимости:

,

Для определения передаточной функции колебательного звена запишем его дифференциальное уравнение в операторном виде

,

отсюда выражение для передаточной функции

.

Частотная передаточная функция колебательного звена определяется через передаточную функцию

Модуль частотной передаточной функции и её аргумент:

,.

При увеличении частоты модуль стремится к нулю, а фазовый угол – к -180°. На частоте фазовый угол равен -90°. Общий вид АФЧХ колебательного звена приведен на рис. 48.

При нулевой частоте точка характеристики лежит на положительном направлении оси вещественных чисел на удаленииk от начала координат. С ростом частоты вначале модуль частотной характеристики увеличивается, а затем начинает уменьшаться и точка движется в начало координат.

Точка характеристики приходит в начало координат со стороны отрицательной полуоси вещественных чисел, поскольку максимальный фазовый угол равен -180° (–π). Положительная ветвь характеристики лежит под осью вещественных чисел, отрицательная – над осью вещественных чисел.

Логарифмическая амплитудная частотная характеристика колебательного звена

.

Для частот характеристика, для частот, т.е. близка к прямой с наклоном -40 дБ/дек. Таким образом, ЛАХ можно аппроксимировать двумя прямыми: горизонтальной для малых частот и наклонной (с наклоном -40 дБ/дек) для высоких частот. Эти два участка стыкуются на частоте сопряжения. Аппроксимированная ЛАХ называетсяасимптотической и отражает частотные свойства звена приближённо.

Фазовая частотная характеристика описывается выражением

Общий вид логарифмических частотных характеристик колебательного звена показан на рис. 49. ЛАХ звена (кривая 1) имеет максимум, который тем выше, чем меньше коэффициент χ относительного затухания звена. Поэтому в области частот, прилегающих к частоте сопряжения, погрешность аппроксимации ЛАХ асимптотической характеристикой может быть велика. Наличие максимума ЛАХ говорит о резонансных свойствах колебательного звена.

Если колебательное звено вырождается в двойное апериодическое, то ЛАХ приобретает плавный характер (кривая 2) и резонансные свойства звена исчезают.

Фазовая характеристика располагается в пределах изменения фазового угла от нуля до -180°. Наибольшие изменения фазовая характеристика претерпевает в окрестностях частоты сопряжения. На частоте сопряжения фазовый угол составляет -90°. ЛФХ 1 соответствует звену с малым коэффициентом относительного затухания, ЛФХ 2 – двойному апериодическому звену. Чем меньше коэффициент относительного затухания колебательного звена, тем круче становится логарифмическая фазовая характеристика в окрестностях частоты сопряжения.

4. Интегрирующее звено.

Интегрирующее звено реализует функцию интегрирования входного сигнала. Для этого звена скорость изменения выходного сигнала пропорциональна входному сигналу. Типичным примером интегрирующего звена может служить электродвигатель, угол поворота вала которого непрерывно увеличивается во времени, пока на вход подаётся напряжение питания. Уравнение интегрирующего звена

или, где.

Обе формы записи уравнения равноценны, а в качестве параметра интегрирующего звена может использоваться как коэффициент усиления k, так и постоянная времениT.

Процесс на выходе интегрирующего звена

. При подаче на вход звена сигнала в виде единичной ступенчатой функции получим переходную характеристику звена

.

Вид переходной характеристики показан на рис. 50. Поскольку при наличии входного сигнала выходной сигнал интегрирующего звена непрерывно изменяется, звено получило название астатического звена. Если в системе автоматического управления есть интегрирующее звено, то система также становится астатической.

Передаточная функция интегрирующего звена

или.

Частотная передаточная функция интегрирующего звена

,

откуда и.

При нулевой частоте модуль частотной характеристики равен бесконечности, а при бесконечно большой частоте – нулю. Фазовый угол от частоты не зависит и постоянно равен -90°. Таким образом, АФЧХ интегрирующего звена будет совпадать с отрицательным направлением оси мнимых чисел комплексной плоскости (рис. 51).

Выражение для логарифмической амплитудной характеристики

описывает прямую, проходящую через точку с наклоном -20 дБ/дек. Фазовый угол не зависит от частоты и равен -90°. Поэтому логарифмические частотные характеристики интегрирующего звена имеют приведенный на рис. 52 вид.

ЛАХ представляет собой прямую линию, проходящую через точку с координатами  =1,и имеющую наклон -20 дБ/дек. Эта линия пересекает ось частот в точке с частотой. ЛФХ имеет вид горизонтальной прямой линии, проведённой на уровне -90°.

С помощью интегрирующего звена обычно описываются различные двигатели: электрические двигатели, пневматические и гидравлические моторы, пневмо- и гидроцилиндры и другие элементы систем автоматического управления, для которых скорость изменения выходной величины пропорциональна входному сигналу.