Передаточная функция
Обыкновенная линейная система автоматического управления описывается обыкновенным линейным дифференциальным уравнением
Умножим обе части уравнения на е
– ptи выполним интегрирование в пределах
от 0 до
:
В результате этих преобразований левая и правая части уравнения представляют собой выражения для преобразования Лапласа. Осуществим преобразование Лапласа, используя его свойства:
.
Полагая, что система находится при нулевых начальных условиях y (0) = 0, y '(0) = y '' (0) = ... = 0, вычислим изображения производных и получим
.
Полученное уравнение является алгебраическим уравнением и его можно решить относительно изображения выходной величины:
.
Передаточной функциейэлемента (или системы) автоматического управления называется отношение Лапласовых изображений выходной и входной величин
При нахождении передаточной функции подразумевается, что элемент (или система) находится при нулевых начальных условиях.
Передаточная функция является дробно-рациональной функцией от независимой переменной р. Передаточная функция легко получается из исходного дифференциального уравнения формальной подстановкой вместо производных символарв соответствующей степени.
При р= 0 передаточная функция вырождается в коэффициент передачи. Обычно для передаточной функцииm < n.
При известной передаточной функции процесс в системе определяется следующим образом:
и
.
Корни числителя передаточной функции называются нулями передаточной функции, корни знаменателя передаточной функции – полюсами. В общем случае передаточная функция имеет m нулей иnполюсов. Нули и полюса могут быть комплексными.
Типовые воздействия
Процессы в системе автоматического управления возникают под влиянием внешних воздействий на систему. Внешними воздействиями могут быть управляющие воздействия, или возмущения. В реальных условиях внешние воздействия могут иметь произвольный характер и выражаться произвольными функциями времени как детерминированными, так и статистическими. Поскольку в этом случае задача исследования становится неопределенной, то при анализе систем автоматического управления используют ряд типовых воздействий, которые позволяют наиболее полно выявить динамические свойства исследуемой системы и в то же время наиболее близки к реальным внешним воздействиям.
В теории автоматического управления используются следующие типовые воздействия при изучении переходных процессов в системе.
Ступенчатая функция(скачкообразное воздействие).
График ступенчатой функции приведен на рис. 31. В нулевой момент времени воздействие скачком изменяется от нуля до некоторой постоянной величины. Аналитическое выражение для ступенчатой функции
.
П
ри
значении функции, равном единице
(рис. 31), функция называетсяединичной
ступенчатой функцией. Единичную
функцию обозначают
x(t) = 1(t) = [1].
Если амплитуда ступенчатой функции отличается от единицы и равна некоторой величине А, то такая функция является неединичной и обозначается
x(t) = A[1].
Изображения Лапласа для ступенчатой функции
и
.
Единичная импульсная функция, илидельта-функция.
Эта функция
представляет собой производную от
единичной ступенчатой функции
.
Д
ельта-функция
равна нулю повсюду, кроме точкиt
= 0, где она стремится к бесконечности
(рис. 32).
Основное свойство дельта-функции
,
т.е. она имеет единичную площадь.
Размерность
единичной
-функции
[сек–1].
-функцию
можно рассматривать как предел
прямоугольного импульса при стремлении
его длительности к нулю, а амплитудык бесконечности. С помощью импульсной
функции удобно моделировать ударные
воздействия на систему (кратковременные
воздействия – удары).
Гармоническая функция.
Функция, изменяющаяся по гармоническому закону (закону синуса или косинуса) (рис. 33):
или
.
В теории автоматического управления гармоническую функцию часто записывают с использованием формулы Эйлера
.
Гармоническая функция применяется при исследовании частотных свойств элементов и систем автоматического управления. С её помощью моделируются повторяющиеся периодические воздействия (например, вибрации).
Степенные функции времени.
Выражают линейное, квадратичное и т.д. изменение входной величины во времени:
,
г
деk– постоянный коэффициент,константа.
При =1 обеспечивается линейная функция времени, график которой приведен на рис. 34.
Степенные функции применяются в том случае, когда необходимо смоделировать непрерывное изменение воздействия на систему, например, при исследовании следящих систем.