ТАУ / Оценка точности САУ

Как я решаю:

Оценка точности САУ

Определим коэффициенты ошибок. Передаточная функция системы по ошибке

W_(p) = =

или, в общем виде,

W_(p) = ,

где a₀́ = 0; a₁́ = 1; a₂́ = T₁ + T₂ = 0,005 + 0,1 = 0,105;

a₃́ = T₁T₂ = 0,005∙0,1 = 0,0005; a₀ = k = 50; a₁ = 1; a₂ = T₁ + T₂ = 0,005 + 0,1 = 0,105; a₃ = T₁T₂ = 0,005∙0,1 = 0,0005.

Представим W_(p) в виде бесконечного степенного ряда:

W_(p) = S₀ + S₁ p + S₂ p² + … ,

где коэффициенты ошибок S_k определяются по формуле

S_k = .

Определим коэффициенты ошибок S₀, S₁, S₂:

S₀ = = 0;

S₁ = = = 0,02;

S₂ = = = 0,0017.

Установившаяся ошибка

= .

При x_ВХ(t) = 1 x(t) = 0 – статическая ошибка системы отсутствует (система астатическая); при x_ВХ(t) = t x(t) = 0,02 – скоростная ошибка постоянна; при x_ВХ(t) = t² x(t) = 0,02 t + 0,0017 – ошибка от ускорения линейно возрастает с течением времени.

Как у Федотова:

Статическая ошибка системы

В системах автоматического управления часто приходится решать задачу стабилизации управляемой величины. Точность поддержания требуемого значения управляемой величины в такой системе можно оценить как разницу между заданным значением управляемой величины и её установившимся значением в системе после окончания переходного процесса:

.

Эта величина получила название статической ошибки системы. При вычислении статической ошибки предполагается, что система находится в статике и все сигналы в ней имеют постоянные величины. Статическая ошибка используется для оценки точности установления в системе заданной постоянной выходной величины после окончания переходного процесса.

Используя передаточную функцию замкнутой системы по ошибке, для изображения ошибки в системе можно записать

, где  передаточная функция замкнутой системы по ошибке,  изображение задающего воздействия.

Для статики, когда все сигналы в системе неизменны, выражение для ошибки можно перенести в область оригиналов

.

Поскольку

, где W(p) – передаточная функция разомкнутой системы, то статическую ошибку системы можно вычислить, зная передаточную функцию разомкнутой системы:

, где .

Вместо абсолютного значения статической ошибки часто используют относительную статическую ошибку

.

Если система статическая (т.е. не содержит интегрирующих звеньев), то передаточную функцию разомкнутой системы можно представить в следующем нормированном виде:

, где K – коэффициент усиления системы, A^*(p), B^*(p) – нормированные полиномы A(p) и B(p). При этом и . Тогда и статическая ошибка в статической системе

. Статическая ошибка в статической системе уменьшается с увеличением коэффициента усиления системы. Статическая система всегда будет иметь некоторую ошибку. Физический смысл такой ошибки заключается в необходимости некоторого рассогласования между задающей и выходной величинами системы для получения сигнала управления.

Если в системе управления имеются интегрирующие звенья, то система будет астатической. Для астатической системы первого порядка (содержащей одно интегрирующее звено) передаточная функция разомкнутой системы

и передаточная функция замкнутой системы по ошибке

.

В этом случае всегда и, следовательно, статическая ошибка астатической системы будет равна нулю. Таким образом, статическая ошибка в астатической системе в принципе отсутствует, что обуславливает более высокую точность астатических систем, по сравнению со статическими системами. В астатической системе автоматического управления установившееся значение управляемой величины равно заданному значению этой величины.

Вынужденная ошибка системы

Процесс в системе складывается из свободного процесса и вынужденного процесса:

. Для устойчивой системы свободный процесс по истечении времени t_п затухает и в системе устанавливается вынужденный процесс

Точность поддержания заданного значения управляемой величины в вынужденном режиме характеризуется вынужденной ошибкой системы

.

Вынужденная ошибка хорошо характеризует работу системы автоматического управления в том случае, когда изменения управляющего воздействия происходят существенно медленнее собственных переходных процессов в системе и последними можно пренебречь.

Рассмотрим вычисление вынужденной ошибки системы автоматического управления. Изображение для вынужденной ошибки

.

В общем случае является дробно-рациональной функцией от p и ее можно разложить в ряд Тейлора по степеням р вблизи , тогда

и выражение для вынужденной ошибки системы примет вид

где  постоянные коэффициенты.

Для полученного изображения вынужденной ошибки на основе свойств преобразования Лапласа легко находится выражение для оригинала ошибки

где , , …  коэффициенты ошибок, полученные выше (C₀ – коэффициент статической ошибки, C₁ – коэффициент скоростной ошибки и т. д.).

Коэффициенты ошибки могут быть также получены делением числителя передаточной функции на ее знаменатель. Полученное выражение для вынужденной ошибки позволяет оценить точность системы автоматического управления в установившемся режиме. Вынужденная ошибка, например, хорошо характеризует точность работы следящих систем автоматического управления.