Асимптоты графика функции

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Прямая линия называется асимптотой кривой, если расстояние от точки , лежащей на этой кривой, до прямой стремится к нулю при удалении точкивдоль одной из ветвей кривой в бесконечность.

y О х Рис. 36

Асимптоты бывают трех видов: горизонтальные, вертикальные, наклонные (рис. 36). –горизонтальная асимптота –вертикальная асимптота –наклонная асимптота

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Прямая является вертикальной асимптотой кривой, если хотя бы один из односторонних пределов в точкебесконечен.

В этом случае в точке функция имеет разрыв второго рода.

ПРИМЕР. Функция определена при всех, причем, поэтому график этой функции имеет бесконечное множество вертикальных асимптот.

График функции имеет, очевидно, три вертикальные асимптоты:.

ПРИМЕР. Функция определена при всехпричемПо определению прямая– вертикальная асимптота графика (справа).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Прямая называется наклонной асимптотой графика функциипри, еслипредставима в виде:

ТЕОРЕМА. Для того, чтобы прямая была наклонной асимптотой графика функциипри, необходимо и достаточно, чтобы существовали два конечных предела:

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть функция определена при всех достаточно больших положительных значениях.

1. Необходимость: – асимптота присуществуют конечные пределы

По определению

Поэтому

2. Достаточность: существуют конечные

– асимптота при .

По условию

Обозначим

Тогда то естьгде– б.м. при. По определению– асимптота , что и требовалось доказать.

Если , доказательство аналогично.

ЗАМЕЧАНИЕ. Если при отыскании наклонной асимптоты графика оказалось, что то график имеет горизонтальную асимптоту(еслисуществует). Если хотя бы один из пределов бесконечен или не существует, то график не имеет ни наклонной, ни горизонтальной асимптот.

ПРИМЕР. Найти асимптоты графика функции

Функция определена , значит, вертикальных асимптот нет. Найдем наклонные асимптоты.

Таким образом, при – наклонная асимптота.

,

откуда – асимптота графика при

Исследуем первую производную этой функции и построим эскиз графика (рис. 37).

+ – + -1 1 х

у О х Рис. 37

ПРИМЕР. Найти асимптоты графика функции

ОДЗ:

–вертикальных асимптот нет.

то есть при – асимптота.

y О x Рис. 38

и – асимптота графика при Эскиз графика этой функции имеет вид (рис.38):

ПРИМЕР. Найти асимптоты графика функции

Функция определена , поэтому вертикальных асимптот нет.

значит, график асимптот не имеет.