Принадлежность точки и прямой плоскости

Теорема №1. Прямая принадлежит плоскости, если она проходит через две

точки, принадлежащие данной плоскости.

A∑ , B∑ , l∑

A, Bl.

Теорема №2. Если прямая линия проходит через точку, принадлежащую данной плоскости и параллельна любой прямой, принадлежащей этой плоскости, то она принадлежит данной плоскости.

А ,

а  ,l .

l ║ а,

l  А ,

Задача №1

Задана плоскость общего положения треугольником ABC и фронтальная проекция точки М₂ принадлежащая данной плоскости. Определить горизонтальную проекцию точки М.

План решения:

1. Через фронтальную проекцию точки М₂ проводим прямую М₂А₂ принадлежащую плоскости - .

2. Находим точку пересечения прямых ВС и АМ, B₂C₂ A₂M₂ = 1₂.

3. Строим линию проекционной связи проходящую через точку 1₂. Находим точку 1₁ пересечения линии проекционной связи с проекцией B₁C₁.

4. Через горизонтальную проекцию точки 1₁ проводим прямую А₁1₁ на которой по проекционной связи находим точку М₁.

ІІ Плоскости частного положения:

1) Плоскости уровня – плоскости параллельные плоскостям проекций.

а) горизонтальная плоскость уровня

A₂B₂C₂ ║ x_{1, 2};

A₁B₁C₁ – натуральная величина (Н.В.);

∆₂ – след плоскости;

б) фронтальная плоскость уровня

m₂n₂ - Н. В;

m₁n₁ ║ x_{1, 2};

Σ₁ – след плоскости;

в) профильная плоскость уровня;

a₂b₂ x_{1, 2}; ₂  С.П.;

a₁b₁ x_{1, 2}; ₁  С.П.;

a₃b₃ – Н. В.

y

2) Проецирующие плоскости - плоскости перпендикулярные плоскостям

проекций.

а) Франтально-проецирующая плоскость

∆₂ – след плоскости;

Главные линии плоскости

1) Фронталь и горизонталь принадлежащие плоскости.

B₂

а) Горизонталь плоскости – это прямая параллельная горизонтальной плоскости проекций и принадлежащая данной плоскости.

B₂

h₂

1₂

C₂

C₂

h₂ ║ x_{1, 2}

h₁ – Н. В.

A₂

A₂

x_1,2

x_1,2

A₁

A₁

h₁

C₁

1₁

C₁

B₁

B₁

б) Фронталь плоскости − это прямая параллельная фронтальной плоскости проекций и принадлежащая данной плоскости;

f₂

m₂

2₂

m₂

n₂

1₂

n₂

x_{1, 2}

x_{1, 2}

f₁ ║ x_{1, 2}

f₂ – Н. В.

f₁

1₁

2₁

m₁

n₁

m₁

n₁

2) Линии наибольшего наклона к плоскостям проекций.

а) линия наибольшего наклона к плоскости – П₁

B₂

B₂

1₂

1₂

h₂

2₂

C₂

h₂

C₂

n₂

A₂

A₂

x_1,2

x_1,2

A₁

A₁

n₁

h₁

h₁

1₁

1₁

C₁

C₁

2₁

B₁

B₁

Линии наибольшего наклона к плоскостям проекции перпендикулярны линиям уровня.

Линия наибольшего наклона к плоскости П₁ задает траекторию качения шарика помещенного в точке В.

Для построения линии наибольшего наклона к плоскости П₁ необходимо:

1 Строим горизонталь h (h₁, h₂) принадлежащую плоскости АВС.

2 На горизонтальной проекции строим прямую n₁h₁;

3 Находим точку 2₁ пересечения прямых n₁ и h₁;

4 Через точку 2₂ строим проекцию n_2.

б) линия наибольшего наклона к плоскости – П₂

Линия наибольшего наклона проходит через точку A.