7. Несобственные интегралы

Рассмотрим так называемые несобственные интегралы, т.е. определенный интеграл от непрерывной функции, но с бесконечным промежутком интегрирования (несобственный интеграл I рода), или определенный интеграл с конечным промежутком интегрирования, но от функции, имеющей на нем бесконечный разрыв (несобственный интеграл II рода).

Рассмотрим, как вычисляются несобственные интегралы I рода. Здесь возможны три варианта:

1) Пусть функция непрерывна на промежутке, тогда

у 0 а х Рисунок 19

. Если этот предел существует, то говорят, что интеграл сходится; если же предел не существует или бесконечен, то говорят, что интеграл расходится.

2) Если функция непрерывна на промежутке, тогда

у в 0 х Рисунок 20

. Сходимость и расходимость такого интеграла определяется аналогично.

Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами интегрирования определяется формулой

,

где с – произвольное число.

у 0 с х Рисунок 21

Интеграл, стоящий в левой части равенства, сходится лишь тогда, когда сходятся оба интеграла, стоящие в правой части равенства.

Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость :

1. данныйинтеграл сходится.

2. т. к. прине существует,данный интеграл расходится.

следовательно, данный интеграл сходится.

В некоторых задачах нет необходимости вычислять интеграл, достаточно лишь знать, сходится он или нет.

Сформулируем признак сходимости:

Интеграл : 1) сходится, еслии;

2) расходится, если и, где М,m - постоянные.

Пример. Установить, сходится или расходится интеграл , используя признак сходимости.

Решение. Так как , то, т.е. подынтегральная функция удовлетворяет условию (1) при,данный интеграл сходится.

Теперь рассмотрим, как вычисляются несобственные интегралы II рода.

Если функция терпитбесконечный разрыв в точках , или, или, то интегралназываетсянесобственным интегралом II рода.

Таким образом, при вычислении таких интегралов также возможны три варианта:

у 0 а в х Рисунок 22

1) если - точка разрыва: , где ;

у 0 а в х Рисунок 23	2) если - точка разрыва: ;
у 0 а св х Рисунок 24	3) если - точка разрыва, где

Если хотя бы один из пределов не существует или равен бесконечности, несобственный интеграл II рода расходится. В противном случае – сходится.

Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость:

1.

,

следовательно, данный интеграл сходится.

2.

так как этот предел не существует, следовательно, данный интеграл расходится.

3.

следовательно, данный интеграл расходится .

Задания для самостоятельной работы

Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость:

Ответы:

1.	.
2.	1.
3. .	Расходится.
4. .	6.
5. .	1.
6. .	.