Примеры для самостоятельной работы

Представить интегралом Фурье функции:

1.

Ответ: .

2.

Ответ: .

3.

Ответ: .

4.

Ответ: .

5. Найти косинус-преобразование Фурье функции

Ответ: .

6. Найти синус-преобразование Фурье функции .

Ответ: .

7. Найти функцию , если.

Ответ: .

8. Вычислить интеграл .

Ответ:

4. Преобразование фурье

Интегральную формулу Фурье можно записать в виде

. (23)

Это есть комплексная форма интеграла Фурье. Введем функцию

, (24) то согласно (23) получим

. (25)

Переход от кпо формуле (24) называется прямым преобразованием Фурье. Восстановлениепос помощью формулы (25) называется обратным преобразованием Фурье. Функцияназываетсяспектральной функцией или спектральной плотностью сигнала . Функцияназываетсяамплитудным спектром, функция называетсяфазовым спектром функции .

и - спектральные характеристики сигналасоответственно амплитудная и фазовая- четная, а- нечетная функция.

.

Рассматривая интеграл Фурье как предельный случай ряда Фурье при , можно заметить, что спектральные линии в пределе сливаются. Поэтому амплитудный спектр непериодической функции будет сплошным и его изображают непрерывной линией.

Формулы (24) и (25) показывают, что если известна спектральная плотность сигнала , то можно восстановить сигнал, и, наоборот, по известному сигналуможно определить его спектральные характеристики. Таким образом, описания процессов временными функциями (сигналами) и спектральными функциями равноправны. При решении конкретных задач, связанных с распространением сигналов, используют ту или иную форму представления, исходя из простоты математического анализа.

Рассмотрим важные для практики примеры нахождения спектральной плотности и спектральных характеристик непериодических сигналов.

1. Единичная функция изображается графиком, как показано на рис. 16.

Единичная функция определяется следующим образом:. Если попытаться вычислить спектральную плотность единичной функции“напрямую”, возникает затруднение, связанной с тем, что эта функция не является абсолютно интегрируемой.

1

0 t

Рис. 16

В этом случае умножают заданную функцию на затухающую экспоненту . Вычислив спектральную плотность функции, искомую спектральную плотность находят предельным переходом при.

.

Таким образом, амплитудная характеристика единичной функцииизображается графиком, как показано на рис. 17.

0. 

Рис. 17

2. Прямоугольный импульс.

Сигнал, определяемый выражением:

находит широкое распространение как в технике, так и в теории сигналов и цепей. Прямоугольный импульс высотой , длительностьюизображен на рис. 18.

h

-/2 0 /2

Рис. 18

Применяя формулу (24), находим спектральную плотность этого импульса.

.

Далее на рис. 19 представлены графики спектральной плотности, амплитудного и фазового спектров прямоугольного импульса. На графике фазового спектра каждая перемена знака учитывается приращением фазы на.

2



^{- }

Рис. 19

3

. Треугольный импульс.

h

-/2 0 /2 t

Рис. 20

График функции представлен на рис. 20.

Решение. Вычисляем спектральную плотность .

.

График спектральной плотности изображен на рис. 21.

0

Рис. 21

4. Колоколообразный импульс.

, . Этот импульс совпадает по форме с графиком нормального (гауссовского) закона распределения вероятностей и называется также гауссовским импульсом. Колоколообразный импульс и его спектральная плотность изображены на рис. 22.

0 t 

Рис. 22

Будем находить спектральную плотность данного импульса. По формуле (24) имеем

.

Для вычисления интеграла удобно в подынтегральной функции дополнить показатель степени до квадрата суммы

,

где величина d определяется из условия

, т.е. .

Таким образом, выражение для приводится к виду

.

Перейдем к новой переменной , получим

.

Так как , то окончательно, где,

.

Полученный результат имеет важное значение для теории сигналов. Оказывается, что гауссовский импульс и его спектр выражаются одинаковыми функциями и обладают свойством симметрии: для получения одной из них по заданной другой достаточно совершить замену t на и наоборот.

5. Волновой цуг. Так называют функцию, определяемую равенством:

t

Рис. 23

График функции представлен на рис. 23.

Рассматриваемый сигнал играет в теории связи большую роль. Находим его спектральную плотность.

.