Деревья

Связный граф, не имеющий циклов, называется деревом, а ребра дерева называются ветвями. У дерева с вершинами есть ровноветка (ребро). Действительно, если добавить хотя бы одно ребро, то в графе появится цикл. Если же убрать хотя бы одно ребро, то граф станет несвязным.

а) б) в)

Рисунок 15

Задачи о покрывающих деревьях. Пусть задан неориентированный граф Деревоназывается покрывающих деревом графа, еслиТаким образом, покрывающее дерево связывает все вершины данного графа, но не обязательно при этом включает все его рёбра.

Пример 1.

Покрывающее его дерево

Пример 2. Для заданного графа построить покрывающее дерево минимального веса. К этой задаче могут быть сведены многие практические проблемы, например: «В строящемся микрорайоне необходимо разработать схему подводки газа к домам, причем затраты на строительство должны быть минимальными». Для решения этой задачи удобной моделью является граф, вершины которого соответствуют домам, рёбра – возможным газовым коммуникациям между ними, веса рёбер – стоимости прокладки газопровода между соответствующими домами.