Тема 3. Графы Определение графа и основные виды графов

Графом называется пара множеств , гденепустое множество вершин, амножество парназываемых ребрами. Например,

Рисунок 5 Рисунок 6

Несложные графы удобно изображать в виде графических схем, где вершины точки, а ребра – соединяющие их линии. В этих схемах расположение вершины, длина линий не имеютзначения.На рисунках 5 и 6 изображен один и тот же граф из предыдущего примера.

Таким образом, граф – свободная конструкция, для которой имеет значение факт наличия связей между двумя вершинами и в некоторых случаях характер этих связей.

Если вершины ипринадлежит некоторому ребру, то говорят, что это реброинцидентно вершинам и, которые в свою очередь называютсясмежными. Если ребро инцидентно одной и той же вершине, то оно называется петлей. Вершина, не инцидентная никакому ребру, называется изолированной. Если в графе есть вершины, соединенные с двумя и более вершинами, то такой граф называют мультиграфом. На рисунке 7 изображен мультиграф.

Рисунок 7

Число ребер, инцидентных данной вершине, называется степенью (кратностью) данной вершины.

В графе, изображенном на рисунке 7, вершина имеет степень 6, т. к. ей инцидентны ребра , а вершина имеет степень 3Вершина имеет степень 1 Изолированная вершина имеет степень 0.

Граф без петель и кратных ребер называется простым или обыкновенным. Граф может быть задан в виде квадратной матрицы – матрицы смежности графа.

Номера строк и столбцов этой матрицы совпадают с номерами вершин графа, а её элемент есть число ребер, соединяющих вершиныи. Для графа, изображенного на рисунке 7, матрица смежности имеет вид

Нумеровать вершины графа можно произвольным образом. Существенным же для графов является лишь число вершин и рёбер, а также отношения инцидентности вершин и ребер. Следовательно, графы, отличающиеся только нумерацией вершин и сохраняющие отношения их инцидентности, могут отличаться лишь начертанием. Такие графы называются изоморфными. Решения задач на изоморфных графах совпадают.

Граф называется планарным (плоским), если существует изоморфный ему граф, который может быть изображен на плоскости без пересечения рёбер. На рисунке 8 представлена пара изоморфных графов и .

Рисунок 8

Ориентированным (или орграфом) называется пара, гдепроизвольное множество вершин, и– множество упорядоченных пар. В паре первая вершинаназывается началом дуги, а втораяконцом дуги. На рисунках в орграфах дуги изображаются стрелками (рис. 9).

Рисунок 9

Чтобы лучше понять отличие ориентированного графа от неориентированного, можно привести следующую аналогию. Если ориентированный граф описывает систему улиц с односторонним движением, то неориентированный граф – с двусторонним. Ориентированные графы удобно задавать в виде матриц инциденций.

Номера строк матрицы инциденций равны номерам вершин, а номера столбцов – номерам дуг. Если дуга выходит из вершины , то соответствующий элемент матрицы инциденций равен минус единице. Если же дуга входит в вершину, то элементравен плюс единице. Все другие элементы столбцаравны нулю. Для ориентированного графа, изображенного на рисунке 10, матрица инциденций имеет вид

Рисунок 10

Матрицы часто используются для задания графов в памяти компьютеров.

Граф называется частичным графом(суграфом) графа , если он содержит все вершины исходного графа и лишь часть рёбер исходного

графа, т. е.

Подграфом графаназывается граф, в который входят подмножество вершин исходного графаи все ребра, соединяющие вершиныэтого графа. На рисунке 11 представлены подграфи частичный графдля данного исходного графа.

Рисунок 11