З а д а ч а 3

Канонические уравнения кривых второго порядка имеют вид

1) - эллипс с фокусами, где, и эксцентриситетом. Если, то уравнениеописывает окружность, в этом случае;

2) - гипербола с фокусами, где, и эксцентриситетом. Прямыеявляются асимптотами гиперболы;

3) - парабола, симметричная оси Ох, с фокусоми директрисой,- парабола, симметричная относительно Оу, с фокусоми директрисой.

Пример 3

Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, если ее директриса параллельна оси Оу и проходит через левый фокус гиперболы:

.

Определим координаты левого фокуса гиперболы: ,. Так как директриса параболы параллельна оси Оу и проходит через точку, то она имеет уравнение. Определим значение параметра р параболы:. Каноническое уравнение параболы имеет вид, т. е..

З а д а ч а 4

Нормальные уравнения кривых второго порядка с центром в точке имеют вид

- окружность радиусом R;

- эллипс с полуосями а и b;

- гипербола;

или - парабола.

Пример 4

Дано уравнение линии . Записать уравнение линии в нормальной форме и построить эту кривую.

Чтобы привести уравнение к нормальной форме, сгруппируем слагаемые, содержащие только х и у, вынося коэффициенты при за скобки:

.

Дополняем выражения в скобках до полных квадратов:

;

;

;

.

Разделив обе части на 144, получим нормальное уравнение эллипса:

с полуосями с центром в точке. Через точкупроведем новые оси координат (и) параллельные соответственно осям Ох и Оу. По обе стороны от точкиотложим по осиотрезки длиной, а по оси-, получив таким образом вершины эллипса. Проведя через вершины вспомогательные отрезки, параллельные осям, получим прямоугольник, в который нужно вписать эллипс. Чертим эллипс.

у

х

О

Координаты фокусов эллипса в новых осях: . Здесь. Старыми координатами фокусов будут, т. к.и

З а д а ч а 5

Общее уравнение плоскости имеет вид: , где- ненулевой вектор, перпендикулярный плоскости (нормальный вектор плоскости).

Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки ,иопределяется равенством

.

Расстояние от точки до плоскостинаходится по формуле.

Пример 5

Найти расстояние от точки до плоскости, проходящей через точки.

Найдем уравнение плоскости, проходящей через точки :

Вычислим определитель, разложив его по первой строке:

Найдем расстояние от точки до плоскости.

З а д а ч а 6

Косинус угла между плоскостямиивычисляется по формуле

.

Пример 6

Найти угол между плоскостями .

Найдем косинус искомого угла:

, .