5. Односторонние пределы

Введём понятие одностороннего (правого или левого) предела функции в данной точке a.

Определение 1. Число b называется правым (левым) пределом функции при, если для любого числаможно указать такой интервал,, что всюду внутри этого интервала будет выполняться неравенство.

Обозначаются односторонние пределы в точке x=a так:

или - правый предел

или - левый предел.

В качестве примера рассмотрим ещё раз функцию (рис. 7)

Впункте 1 было отмечено, чтоне существует, но вместе с тем очевидно, что еслиx cтремится к нулю, оставаясь отрицательным (то есть слева), то . А еслиx стремится к нулю справа (оставаясь положительным), то .

Геометрическая иллюстрация этих утверждений – на рис. 7. Зададим , тогда для всех-1 0 1x

выполняется неравенство ,.

Точно также для произвольного при всехимеет Рис. 7

место неравенство или.

Пример. Вычислить односторонние пределы функции в точкахи.

Пусть (справа), тогдаи.

Следовательно, ,.

Если (слева), то и , поэтому

, . Очевидно, чтоне существует. Если

, то , но и при.

Поэтому ==. Связь между односторонними пределами и пределом функции в точке устанавливает следующая теорема.

Теорема. Если функция имеет в точкекак правый, так и левый пределы и если эти односторонние пределы равны одному и тому же числу, то эта функция имеет в точкепредел, равный.

Наоборот, если , то

Для односторонних пределов верны все теоремы п. 2.

6. Непрерывность функции. Точки разрыва и их классификация

Предположение о существовании ещё не означает, что этот предел совпадает со значением функции в точке . Для примера рассмотрим функцию, график которой представлен на рис. 8. Очевидно, что ,

поэтому существует , но , то есть в данном примере .

Рассмотрим функцию , определённую в некотором интервале, содер-жащем точку.

Определение. Функция на-y

зывается непрерывной в точке ,

если 1) определена при ;

2) существует конечный 2

(это равносильно существованию 1

равных односторонних пределов:

); 0 x

3) =.

Если какое– либо из трёх перечислен - Рис. 8

ных условий не выполнено, то функция

называется разрывной в точке .

Будем говорить, что функция непрерывна на отрезке, если она непрерывна в каждой точке интервалаи непрерывна слева в точкеи справа - в точке. Очевидно, график функции непрерывной на некотором промежутке представляет собой непрерывную линию, то есть линию, которую можно провести, не отрывая карандаш от бумаги.