3. Бесконечно малые функции. Принцип замены бесконечно малых

Определение 1. Функция называетсябесконечно малой функцией (или просто бесконечно малой) в точке (или при ), если.

Пример 1. Функция - бесконечно мала (б.м.) в точках

и , так каки.

Функция б.м. при, так как.

Пусть , то есть функциии- б.м. в точке.

Определение 2. Бесконечно малые в точке функции и

называются эквивалентными, если .

Эквивалентность обозначается так:

~ .

Пример 2. Функции иб.м. при, кроме того,. Значит,~в точке.

Пример 3. Функции ,,- б.м. при, так как.

При этом ~, так как. Однако бесконечно малыеиэквивалентными не являются:

.

Раскрытие неопределённости вида во многих случаях упрощает следующее утверждение:

Если ~и~при(при) и

существует , то существует и,

причём

.

Это утверждение называется принципом замены бесконечно малых.

Можно показать, что ,,,,,

, .

Поэтому при

sin t ~ t , tg t ~ t , arcsin t ~ t , arctg t ~ t

~ t , ln (1+t)~ t , ~ .

Замечание. Равенство называется первым замечательным пределом.

Пример 4. Найти .

Заменим числитель и знаменатель дроби эквивалентными б.м.:

tg 3x ~ 3x, sin 4x ~ 4x .

Тогда получим

.

Пример 5. Найти .

Так как

() ~ , ~ () при x0,

то

.

Пример 6. Найти .

Заметим, что , поэтому

= ~ ~ , а ~ при .

Отсюда

.

Пример 7. Найти .

, но, чтобы заменить бесконечно малые на эквивалентные им, введём другую переменную: или . Тогда; .

Теперь имеем .

4. Второй замечательный предел

Можно показать, что функция приимеет предел, причём.

Этот предел обозначают буквой е ; то есть е = 2,71828... - - иррациональное число, определённое равенством

. Это равенство называется вторым замечательным пределом .

Если в этом пределе сделать замену переменной, полагая , то получим

.

Заметим, что , а, поэтому второй замечательный предел представляет собой неопределённость вида. С его помощью находятся многие другие пределы.

Пример 1. Найти .

Сделаем замену переменной: . Тогда

.

Пример 2. Найти .

Так как , то прифункцияпредставляет собой степень, основание которой стремится к единице, а показатель – к бесконеч-ности, то есть данный предел является неопределённостью вида, а поэтому при его вычислении можно использовать второй замечательный предел.

Преобразуем функцию следующим образом:

.

Теперь

,

так как , то.

Пример 3. Найти .

Так как = 1 , и, то преобразуем функцию так, чтобы использовать второй замечательный предел:

.

Такое преобразование называется выделением целой части (она равна единице) неправильной рациональной дроби.

После этого имеем

==,

так как

.

Пример 4. Найти .

, поэтому данный предел неопределённостью не является и

==1.

Пример 5. Найти .

=, поэтому данный предел также неопределённостью не является и=0 , а = +¥.

(Функция стремится к нулю, если, и неограниченно возрастает, если).

Упражнения. Используя замечательные пределы, принцип замены и таблицу эквивлентных б.м., найти пределы функций.

33) , 34), 35),

36) , 37), 38),

39) , 40), 41),

42) , 43), 44),

45) , 46), 47),

48), 49), 50),

51) , 52), 53).

Ответы

33. 2	34. 25	35. ¥	36. 14	37.0,125	38. 0	39.-1,75
40. -10	41. 48	42. -2	43. –0,9	44. 0,5	45. 0	46. 3
47.	48. е	49. е	50.	51.	52. 1	53.