1.4. Метод простой итерации

Пусть уравнение можно заменить эквивалентным ему уравнением

. (2)

Выберем каким-либо образом начальное приближение . Вычислим значение функцииприи найдем уточненное значение. Подставим теперь в уравнение (1) и получим новое приближение и т. д. Продолжая этот процесс неограниченно, получим последовательность приближений к корню:

. (3)

Формула (3) является расчетной формулой метода простой итерации.

Если последовательность сходится при, т. е. существует

(4)

и функция непрерывна, то, переходя к пределу в (3) и учитывая (4), получим:.

Таким образом, , следовательно,– корень уравнения (2).

Сходимость метода. Сходимость метода простой итерации устанавливает следующая теорема.

Теорема. Пусть функция определена и диффе­ренцируема на отрезке, причем все ее зна­чения. Тогда, если выполняется условиепри:

1) процесс итерации сходится независимо от начального значения;

2) предельное значение является единственным корнем уравненияна отрезке.

Доказательство. Так как и, то можно записать

.

По теореме о среднем (она утверждает, что если производная функции непрерывна на некотором интервале, то тангенс угла наклона хорды, проведенной между точкамии, (т.е.равен производной функции в некоторой промежуточной точке, лежащей междуи) частное в последнем выражении будет равно, где– некоторая промежуточная точка в интервале поиска корня. Следовательно,.

Если ввести обозначение для всего интервала поиска, то предыдущее равенство может быть переписано в виде:

Аналогично . Тогда длябудет справедливо неравенство:и т. д. Продолжая эти выкладки дальше, в результате получаем, где– натуральное число. Таким образом, чтобы метод сходился, необходимо выполнение неравенства:.

Отсюда следует, что должно быть меньше единицы. В свою очередь, для всех остальных значений меньших, можно записать:. Числоопределим из соотношения. Тогда справедливо неравенство (вывод см. ниже):. Если поставить условие, что истинное значение корнядолжно отличаться от приближенного значения на величину, т.е., то приближениянадо вычислять до тех пор, пока не будет выполнено неравенство

или и тогда.

Вывод неравенства. Рассмотрим два последовательных приближения: и. Отсюда.

Используя теорему о среднем, получим:

,

тогда на основании условия можно записать:

.

С другой стороны, пусть . Очевидно, что. Отсюда, учитывая, что, получим

,

где .

Тогда или.

Используя предыдущую формулу, можно получить:

. (5)

Перейдём к пределу в равенстве (3), в силу непрерывности функции получим, то есть– корень уравнения (2). Других корней нанет, так как если, то, тогда, где. Равенство нулю будет достигнуто, если. То есть– корень единственный.

Теорема доказана.

Приведение уравнения к видудля обеспечения выполнения неравенства

В общем случае получить подходящую итерационную форму возможно, проведя равносильное преобразование исходного уравнения, например, умножив его на коэффициент :. Прибавив затем к обеим частям уравненияи обозначивможно потребовать выполнения достаточного условия. Отсюда определяется необходимое значение. Так как условиедолжно выполняться на всем отрезке, то для выбораследует использовать наибольшее значениена этом отрезке, т.е.

. Это соотношение определяет диапазон значений коэффициента , изменяющий величинув пределах.

Обычно принимают .

На рис. 3–6 показаны четыре случая взаимного расположения линий и и соответствующие итерационные процессы. Рис. 3 и 4 соответствуют случаю, и итерационный процесс сходится. При этом, если(рис. 3), сходимость носит односторонний характер, а если(рис. 4), сходимость носит двусторонний, колебательный характер. Рис. 5 и 6 соответствуют случаю– итерационный процесс расходится. При этом может быть односторонняя (рис. 5) и двусторонняя (рис. 6) расходимость.

Рис. 3

Рис. 4

Рис. 5

Рис. 6

Погрешность метода. Оценка погрешности была доказана (5).

Критерий окончания. Из оценки (5) следует, что вычисления надо продолжать до выполнения неравенство . Если же, то оценка упрощается:.

Пример 1. Используем метод простой итерации для решения уравнения с точностью . Преобразуем уравнение к виду:

, т. е. .

Нетрудно убедиться, что корень уравнения находится на отрезке . Вычислив значения на концах отрезка, получим: , а, т. е. функция на концах отрезка имеет разные знаки,

поэтому внутри отрезка есть корень. Расположение корня наглядно иллюстрирует рис. 7.

Рис. 7

Подсчитаем первую и вторую производные функции :

.

Так как на отрезке, то производнаямонотонно возрастает на этом отрезке и принимает максимальное значение на правом конце отрезка, т. е. в точке. Поэтому справедлива оценка:

.

Таким образом, условие выполнено, и можно воспользоваться критерием окончания вычислений. В табл. 2 приведены приближения, полученные по расчетной формуле. В качестве начального приближения выбрано значение.

Таблица 2

	0	1	2	3	4	5
	1	0,8415	0,8861	0,8712	0,8774	0,8765

Критерий окончания выполняется при ,. Сходимость двусторонняя, качественный характер такой сходимости представлен на рис. 4. Приближенное значение корня с требуемой точностью .

Пример 2. Решить методом простой итерации уравнение на отрезкес точностью 0,025. Для решения исходное уравнение приводится к виду. Для выбора величиныиспользуем приведенную выше формулу . Тогда расчетная формула имеет вид . В качестве начального приближения можно выбрать верхнюю границу заданного отрезка.

	0	1	2
	1	0,8	0,78

Так как , то.