Решение квадратных уравнений

Обратимся к решению квадратных уравнений

Формула корней квадратного уравнения:

где – дискриминант. Любое квадратное уравнение всегда имеет два корня (это известное положение высшей алгебры).

1. Если имеют

место два различных действительных корня.

2. Если Имеем два равных действительных корня.

3) Если то квадратное уравнение имеют два корня, но они не являются действительными числами. Эти корни называются комплексными числами.

Обозначим назовем мнимой единицейТогда число видагдедействительные числа, называетсякомплексным числом. Здесь называется действительной частью,мнимой частью комплексного числа. Для всякого комплексного числасуществует комплексное число, ему сопряженное:Так, для числасопряженным является числоДва комплексных числаиявляются взаимно сопряженными. Покажем примеры решения квадратных уравнений.

№ 1.

различные действительные корни.

№ 2.

различные действительные корни.

№ 3.

равные действительные корни.

№ 4. – различные корни.

№ 5.

Уравнение имеет два комплексных корня, взаимно сопряженных, c действительной частью и коэффициентом мнимой части

№ 6.

Уравнение имеет 2 взаимно сопряженных комплексных корня: где

Заметим, что всякое алгебраическое уравнение степени n имеет ровно n корней, среди которых могут быть как действительные (различные или равные), так и комплексные (обязательно попарно взаимно сопряженные).

№ 7.

Разложим левую часть уравнения на множители:

Нужно решить три простейших уравнения:

Имеем четыре корня:

Решение однородных линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами

Дано дифференциальное уравнение

При решении характеристического уравнения возможны три случая.

1) Корни характеристического уравнения (16) действительны и различны: В этом случае частными решениямибудут функции

;

при этом эти решения линейно независимы, т. к.

Тогда по теореме 1 общее решение уравнения (14) имеет вид

(17)

где произвольные постоянные.

2) Корни характеристического уравнения (16) действительны и равны: (обозначим их). Тогда имеет место одно частное решение д.у.II Доказано, что второе частное решение имеет видпри этом очевидно, что эти решения линейно независимы. Тогда общим решением д.у.II будет

или (18)

3) Корни характеристического уравнения (16) комплексные сопряженные:

Тогда общее решение д.у. II имеет вид

. (19)

Рассмотрим примеры.

№ 1.

–характеристическое уравнение.

По формуле (17) находим общее решение дифференциального уравнения:

№ 2.

–характеристическое уравнение.

По формуле (18) получим общее решение дифференциального уравнения:

№ 3.

–характеристическое уравнение.

Уравнение имеет комплексные корни

По формуле (19) общим решением будет

или

№ 4. Найти частное решение уравнения при начальных условиях

Характеристическое уравнение:

Общее решение –

Найдем производную

Подставив начальные условия получим систему для определения

или

или

Подставив полученные значения в общее решение, получим– искомое частное решение.

Проверка. Найдем первую и вторуюпроизводные функциии подставим в данное дифференциальное уравнение:

–верное равенство, т. е. частное решение найдено верно.

Таким образом, решение линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами совершается без операции интегрирования функций (как в случае д.у.1) и полностью завершается посредством решения алгебраических квадратных уравнений. Аналогичный результат имеет место и для линейных однородных д.у. с постоянными коэффициентами высших порядков.