6. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка

Обратимся к весьма важным дифференциальным уравнениям, особенно часто встречаемым во всевозможных приложениях математики, именно к линейным уравнениям.

Определение. Дифференциальное уравнение второго порядка называется линейным, если оно первой степени (линейно) относительно искомой функции у и ее производных . Линейное уравнение второго порядка имеет вид

(13)

где – либо функции отх, либо постоянные. Функция , стоящая в правой части уравнения, называется правой частью уравнения. Будем рассматривать линейные д.у.II только с постоянными коэффициентами , т. е.. При уравнение

(14)

называется линейным однородным д.у.II с постоянными коэффициентами.

При уравнениеназывается неоднородным д.у.II с постоянными коэффициентами (или уравнением с правой частью).

Сформулируем теорему о структуре общего решения однородного линейного д.у.II с постоянными коэффициентами (14).

Теорема 1. Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения

имеет вид

где две произвольные постоянные; два частных решения уравнения (14), линейно независимых. Заметим, что два решения: – называются линейно независимыми, если их отношение не является постоянным,

т. е.

Например, функции линейно независимы, т. к.

Функции линейно зависимы, т. к.

Из теоремы 1 следует: чтобы найти общее решение уравнения (14), достаточно найти два частных решения этого уравнения. Вид уравнения (14) показывает, что частные решения этого уравнения следует искать прежде всего среди таких функций, которые в алгебраическом смысле подобны своим производным. Известно, что среди элементарных функций этим свойством обладает показательная функция, в частности экспонента. Поэтому, следуя русскому математику Эйлеру, будем искать частные решения уравнения (14) в виде

где

Так как подстановка выраженийв уравнение (14) приводит его к виду

(15)

Так как при любомr, должно иметь место тождество

(16)

Таким образом, функция действительно удовлетворяет уравнению (14) (является его решением), если числоr является корнем уравнения (16). Уравнение (16) называется характеристическим уравнением. Для составления его по данному дифференциальному уравнению (14) нужно заменить функцию y единицей, а производные соответствующими степенямипри этом сохранить коэффициенты

Так, для дифференциального уравнения характеристическим будет уравнениеДля уравнения– уравнениеДля всякого линейного однородного д.у.II с постоянными коэффициентами характеристическим является алгебраическое уравнение второй степени(16) (квадратное уравнение).

Пример. Составить линейное однородное д.у.II, зная характеристическое уравнение Д.у.II будет таким: