8. Примеры решения задач из контрольного задания

Задача 1. Проверить, являются ли указанные функции решениями уравнения

Решение

а)

Подставим в уравнение:

или

–верно,

т. е. –решение уравнения.

б)

или

–неверно, т. е. не является решением.

Задача 2. Проверить, является ли функция общим решением уравненияи найти частное решение уравнения, удовлетворяющее начальному условию

Решение. Подставим функцию в данное уравнение:

–верно,

т. е. функция содержит произвольную постояннуюс и является решением уравнения, эта функция является общим решением. Подставим начальные условия в общее решение:

Найденное значение с подставим в общее решение.

–частное решение.

Задача 3. Найти общее решение дифференциального уравнения (или частное решение, удовлетворяющее данному начальному условию).

а) б)в)

Решение

а) Это дифференциальное уравнение является линейным, но проще решать его как уравнение с разделяющимися переменными.

Умножим на

или

;

–общее решение.

б)

Это однородное д.у.1, т. к. после замены на уравнение не изменится:

получим – исходное дифференциальное уравнение.

Решаем подстановкой:

.

Или – дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные:

берем по частям по формуле : .

После подстановки

интеграл

Таким образом, получаем

Подставим

Это общий интеграл данного уравнения. Подставим начальные условия

отсюда

Искомый частный интеграл имеет вид.

в)

Разделим уравнение на

Это линейное дифференциальное уравнение. Решаем его подстановкой:

.

Так как получимили

–общее решение.

Задача 4. Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения:

а)

б)

Решение

а) или– дифференциальное уравнение 2-го порядка. Последовательно интегрируем дважды, применив предварительно

формулу тригонометрии

–общее решение.

б) – дифференциальное уравнение, допускающее понижение порядка. Решаем при помощи подстановки:

или

.

Это уравнение Бернулли относительно функции Решаем уравнение подстановкой:

Получим

Подставим выражение в уравнение

–общее решение уравнения .

Так как получим– дифференциальное уравнение 1–го порядка относительно функции

.

Интеграл зависит от знака поэтому положимТогда

.

Общим решением данного уравнения будет

Задача 5. Найти общее решение уравнения

.

Решение. Это линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Решаем их с помощью характеристического уравнения.

или

–общее решение .

Здесь

–общее решение.

Задача 6. Найти общее решение уравнения

Решение. Это линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами с правой частью (неоднородное).

Общее решение: гдеобщее решение соответствующего однородного линейного уравнения;частное решение данного уравнения.

Характеристическое уравнение:

Правая часть не корень характеристического уравнения.

Приравниваем коэффициенты при

Решая систему, найдем

Искомое общее решение: