
- •Две задачи математического анализа
- •Основные правила дифференцирования
- •Неопределенный интеграл
- •Основные свойства неопределенного интеграла
- •Методы интегрирования
- •Занятие № 1. Интегрирование по формулам
- •Упражнения (устно)
- •Упражнение
- •Задание на дом
- •Занятие № 2. Интегрирование по формулам. Способ подстановки
- •Интегрирование методом замены переменной
- •Интегралы, содержащие квадратный трехчлен
- •Упражнение
- •Занятие № 3. Интегрирование по частям
- •Занятие № 4. Интегрирование рациональных дробей
- •Занятие № 5. Интегрирование иррациональных функций
- •Тригонометрические подстановки
- •Решить самостоятельно
- •Занятие № 6. Интегрирование тригонометрических функций
- •Решить самостоятельно
Занятие № 5. Интегрирование иррациональных функций
Цель занятия - научиться брать интегралы видов:
,
,
,
,
,
.
Здесь предполагается, что подынтегральная функция f рациональна относительно всех своих аргументов. Эти интегралы находятся по одной схеме: необходимо выбрать подстановку таким образом, чтобы все радикалы исчезли, т. е. чтобы после замены переменной были получены интегралы от рациональных функций относительно новой переменной t .
В первом случае
к цели приводит подстановка
,
где
.
Пример.
.
Решение. Здесь
,
поэтому
.
После замены получим
.
Это интеграл от неправильной рациональной дроби. Разделив числитель на знаме-натель, получим
.
Так как
,
получим
.
.
Так как
,
,
находим
,
.
Интеграл
берется аналогично:
.
Тогда
.
Пример.
Найти интеграл
.
Решение.
Здесь полагаем, что
.
,
,
.Для
интеграла
берем подстановку
,
где
.
Из подстановки находим х и затемdx.
После замены переменных получим снова
интеграл от рациональной дроби.
Пример.
Найти интеграл
.
Решение.
.
Отсюда находим х и dx:
,
,
,
,
.
После замены
переменных получим интеграл от
рациональной дроби
.
Разлагаем дробь на простейшие:
,
.
Решив систему
уравнений, получим
,
.
Интегрируя почленно, найдем
,
,
.
Из подстановки следует, что
,
.
.
Тригонометрические подстановки
Интегралы
удобно находить с помощью тригонометрических
подстановок. При этом часто используются
тригонометрические тождества
.
В интеграле
к цели приводит подстановка
,
.
В итоге получаем интеграл
,
не содержащий иррациональностей.
При этом возврат
к старой переменной «х» проще выполнить
с помощью прямоугольного треугольника.
Так как
,
то получаем треугольник со сторонами
(теорема Пифагора). Отсюда находится
любая тригонометрическая функция.
а х
t
Пример.
Найти
.
Решение.
,
а х
,
,
,
.
Интегралнаходится с помощью подстановки
.Тогда
,
.
.
В качестве упражнения
найдите интеграл
.
Наконец, в интеграле
цель достигается с помощью подстановки
.
Тогда
,
.
Здесь использовалось тождество
,
откуда
.
Возврат к старой переменной «х»
выполняется также с помощью прямоугольного
треугольника.
Пример.
Найти интеграл
.
Решение.
Полагаем
.
После замены переменных получим
.
Так как
.
.
Решить самостоятельно
Найти интегралы
Занятие № 6. Интегрирование тригонометрических функций
Цель занятия
- научиться
брать интегралы вида
, гдеR-
рациональная функция относительно
.
Интегралы вида
J
находили в конце прошлого занятия в
примерах
где использовались тригонометрические
подстановки. Разобранные там примеры
были достаточно простые. В общем же
случае вопрос решает следующая теорема.
Теорема.
Всякий интеграл J
с помощью подстановки
приводится
к интегралу от рациональной дроби.
Доказательство.
Из подстановки
следует, что
.
Кроме того, используем известные
формулы тригонометрии:
.
После замены
их значениями получим интеграл от
рациональной дроби относительноt.
Подстановка
в силу ее всеобщности называетсяуниверсальной
тригонометрической подстановкой.
Пример.
Найти интеграл
.
Решение.
После замены
их значениями, получим
,
где
,
.
Пример.
Найти самостоятельно интеграл
.
Универсальная подготовка (в силу ее всеобщности) зачастую приводит к рациональным дробям, интегрирование которых достаточно сложно и громоздко. Кроме того, во многих случаях к цели приводят более простые методы. Приведем некоторую классификацию частных случаев.
Интегралы вида
.
Здесь возможны следующие случаи.
1. Оба показателя степени: m и n – четные положительные числа (один из них может быть нулем). Тогда к цели приводят так называемые формулы понижения степени:
.
Пример. Найти
интеграл
.
Так как
и заменяем
.
После упрощений
получим
,
.
2. Хотя бы одно
из чисел m
или n
– нечетное положительное число. Тогда
применяем метод
отщепления
от нечетной степени
и используем формулы
.
Пример.
Найти интеграл
.
Решение.
.
Пример.
Решите самостоятельно
.
3. Если m и n – целые отрицательные числа одинаковой четности, то к цели
приводит метод отщепления.
Пример.
.
Решение.
.
4. В некоторых
случаях эффективно использование
тождества
или даже
.
Пример. Найти
интеграл
.
Решение.
,
,
.
Интегралы
вида
,
,
гдеm
– целое положительное число, находятся
с помощью тождеств
,
.
Пример.
Пример.
Найти интеграл
.
Решение.
.
Следующие три
интеграла берутся с помощью известных
формул тригонометрии
,
,
.
Пример.
Найти интеграл
.
Решение.
,
.
Подстановка
рекомендуется для нахождения интеграла
,
а
также в тех случаях,
когда в интеграле
числаm
и n
- четные (положительные или отрицательные).
Здесь используются известные формулы
тригонометрии:
.
Пример. Найти
интеграл
.
Решение.
,
,
.
Так как
,
то окончательно
получим
.
Замечание.
Для интегралов
гдеk-
натуральное число, методом интегрирования
по частям можно получать рекуррентные
соотношения, приведенные в таблице
интегралов.