Формула обращения. Теоремы разложения

Если функция действительной переменной является оригиналом, то связь между нею и ее изображением взаимно однозначна:

из равенства

следует формула обращения

(формула Меллина или обратное преобразование Лапласа).

В этой формуле путь интегрирования – любая прямая параллельная мнимой оси, лежащая правее прямой

Замечание. Во всякой точке , являющейся точкой разрыва функции, правая часть формулы Меллина равна

Теорема 3

Если функция аналитическая в полуплоскостиудовлетворяет условиям

а) при равномерно относительно

б) для всех

то является изображением оригинала, который определятся по формуле Меллина.

Непосредственное применение формулы обращения часто затруднительно и обычно пользуются теоремами разложения, являющимися следствиями из нее.

Первая теорема разложения. Если функция аналитична в некоторой окрестности бесконечно удаленной точки и ее разложение в ряд по степеням имеет вид

то функция при

является оригиналом, имеющим изображение

Вторая теорема разложения. Если изображение является однозначной функцией и имеет лишь конечное число особых точек лежащих в конечной части плоскости, то

Если, в частности где– многочлены степенейсоответственно– корни многочленас кратностями, соответственно равными(то

(9)

Если все коэффициенты многочленов – действительные числа, то в правой части (9) полезно объединить слагаемые, относящиеся к взаимно сопряженным комплексным корням; сумма каждой пары таких членов равна удвоенной действительной части одного из них.

В частном случае, когда все корни многочлена простые, используя формулу для вычисления вычета относительно полюса первого порядка, получим

(10)

На практике отыскание функции-оригинала обычно проводят по следующему плану: сначала по таблице оригиналов и изображений пытаются отыскать для заданного изображения соответствующий ему оригинал; в более сложном случае функциюстараются представить в виде суммы простейших рациональных дробей, и, пользуясь свойством линейности, найти оригинал; наконец, использовать теоремы разложения, свойство умножения изображений, формулу обращения и т. д.

Пример 10. Найти функцию-оригинал, если ее изображение задано как

Решение. Рассмотрим три способа.

Первый способ нахождения . Разложим дробьна сумму

простейших дробей:

И по таблице оригиналов и изображений найдем

Второй способ нахождения . Представимкак произведение

и т. к.

и то пользуясь свойством умножения изображений, получим

Последний интеграл возьмем по частям, полагая

также был взят по частям, при

Третий способ нахождения . Здесь

–простой корень знаменателя, – корень кратности.

Решение линейных дифференциальных уравнений и систем уравнений с постоянными коэффициентами

Для того чтобы найти решение линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами

, (11)

(где – оригинал), удовлетворяющее начальным условиям

(12)

следует применить к обеим частям этого уравнения преобразование Лапласа, т. е. от уравнения (11) с условиями (12) перейти к операторному уравнению

где изображение искомого решения,изображение функции,

а некоторый многочлен, коэффициенты которого зависят от начальных данныхи который тождественно равен нулю, еслиРешив операторное уравнение относительно

–характеристический многочлен данного уравнения) и найдя оригинал для , получим искомое решение. Если считатьпроизвольными постоянными, то найденное решение будет общим решением уравнения (11). Совершенно аналогично решаются и системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Отличие будет лишь в том, что вместо операторного уравнения получим систему таких уравнений, которые будут линейными относительно изображений.

Пример 11. Найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиям

Решение. Пусть тогда

Кроме того,

Тогда операторное уравнение имеет вид

Отсюда находим

Разлагая эту дробь на простейшие, получим

Используя свойство линейности преобразования Лапласа и таблицу оригиналов и изображений, находим искомое частное решение дифференциального уравнения:

Пример 12. Решить систему дифференциальных уравнений

Решение. Пусть

Находим, что

Система операторных уравнений принимает вид

Решая эту систему алгебраических уравнений, находим

Переходя от изображений к оригиналам, получаем искомые решения:

Ответ:

Приведем еще несколько примеров.

Пример 13. Найти изображение данного оригинала

Решение. В силу свойства линейности преобразования Лапласа найдем изображение каждого слагаемого:

.

Применяя теорему смещения изображения к первому слагаемому, получим

Изображение первого слагаемого можно было найти также по таблице оригиналов и изображений, используя формулу 9.

Второе слагаемое

Третье слагаемое Окончательно получаем

Пример 14. Найти изображение данного оригинала

Решение. Из рисунка 8 видно, что

2 2 2

1 1 1

0 1 2 3 t 0 1 2 3 t 0 1 2 3 4 t

3

2

2

1 1

0 1 2 3 t 0 1 2 3

Рисунок 8

Так как , по свойству запаздывания оригинала

получаем

Образцы решения типовых заданий представлены примерами №№ 10 – 14.