2. Свойства преобразования Лапласа

Свойства преобразования Лапласа облегчают задачу нахождения изображений для большого числа функций, а также задачу отыскания оригиналов по их изображениям.

Линейность.

Линейной комбинации оригиналов соответствует такая же линейная комбинация изображений, т. е. если и

постоянные числа, то

Используя свойства интеграла, находим

Пример 3. Найти изображения функций – любое число),(соnst).

Решение. Пользуясь свойством линейности и формулой (3), находим

т. е.

Аналогично получаем формулу

Далее, т. е.

Подобие

Если тот. е. умножение аргумента

оригинала на положительное число приводит к делению изображения и его аргумента на это число.

По формуле (1), полагая получим

(так как безразлично, какой буквой обозначена переменная интегрирования).

Например, пусть

Тогда

Смещение изображения

Если то

т. е. умножение оригинала на функцию влечет за собой смещение переменной

В силу формулы (1)

Благодаря этому свойству можно расширить таблицу соответствия между оригиналами и их изображениями:

Запаздывание оригинала

Если тот. е. запаздывание оригинала на положительную величинуприводит к умножению изображения оригинала без запаздывания на

Положив получим

Поясним термин «запаздывание». Графики функции имеют одинаковый вид, но график функциисдвинут наединиц вправо (рис. 3). Следовательно, функцииописывают один и тот же процесс, но процесс, описываемый функциейначинается с опозданием на время

0. t 0 t

Рисунок 3

1 0 t Рисунок 4

Свойство запаздывания удобно применять при отыскании изображения функций, которые на разных участках задаются различными аналитическими выражениями; функций, описывающих импульсные процессы.

Функция называетсяобобщенной единичной функцией (рис. 4).

Так как

Пример 4. Найти изображение функции

Решение. Данная функция описывает единичный импульс (рис. 5), который можно рассматривать как разность оригиналов единичной функции и обобщенной единичной функцииПоэтому

1 0 3 t Рисунок 5

Дифференцирование оригинала

Если и функцииявляются оригиналами, то

(4)

(5)

(6)

(7)

По определению изображения

Возьмем интеграл по частям, полагая , , ,.

Тогда

Итак, Пользуясь полученным результатом, найдем изображение второй производной:

Аналогично найдем изображение третьей производной:

Применяя формулу (4) раз, получим формулу (7).

Замечание. Формулы (4) – (7) просто выглядят при нулевых начальных условиях: если тоеслито

и, наконец, если то

т. е. дифференцированию оригинала соответствует умножение его изображения на p.

Свойство дифференцирования оригинала вместе со свойством линейности широко используется при решении линейных дифференциальных уравнений.

Дифференцирование изображения

Если то

,

т. е. дифференцированию изображения соответствует умножение его оригинала на

Согласно теореме 1 существования изображения, является аналитической функцией в полуплоскостиСледовательно, у нее существует производная любого порядка. Дифференцируя интеграл (1) по параметруp получим

т. е.

Тогда

и вообще

Пример 5. Найти изображения функций

Решение. Так как по свойству дифференцирования изображения

имеем

Далее находим т. е.

Продолжая дифференцирование, получим

Так как

т. е. или

Аналогично находим

Интегрирование оригинала

Если тот. е. интегрирование оригинала отдосоответствует делению его изображения на.

Функция является оригиналом (проверьте самостоятельно).

Пусть Тогда по свойству дифференцирования оригинала

().

А так как

Отсюда т. е.

Интегрирование изображения

Если и интегралсходится, то

т. е. интегрирование изображения от соответствует делению его оригинала наt.

Используя формулу (1) и изменяя порядок интегрирования, получаем

Пример 6. Найти изображения функции и интегрального синуса

Решение. Так как функция

т. е.

Применяя свойство интегрирования оригинала, получаем

Умножение изображений

Если то

Интеграл в правой части формулы называется сверткой функций и обозначается символом т. е.

Можно убедиться (положив ), что свертывание обладает свойством коммутативности, т. е. =.

Итак, умножение изображений соответствует свертке их оригиналов

.

Пример 7. Найти оригинал функции

Решение. Так как и

т.е.

Следствие. Если также является оригиналом, то

(8)

Запишем произведение в виде

или

Первое слагаемое в правой части есть произведение изображений, соответствущих оригиналам иПоэтому на основании свойства умножения изображений и линейности можно записать

или

Формула (8) называется формулой Дюамеля.

На основании свойства коммутативности свертки формулу Дюамеля можно записать в виде

Формулу Дюамеля можно применять для определения оригиналов по известным изображениям.

Пример 8. Найти оригинал, соответствующий изображению

Решение: Так как

и

на основании формулы Дюамеля (8)

Умножение оригиналов

Если то где путь интегрирования – вертикальная прямая (рис. 6).

0 s Рисунок 6

Изображение периодического оригинала с периодом, равным T, имеет вид

Оно определено в полуплоскости

Пример 9. Найти изображение периодической функции заданной графически (рис. 7).

1 0 1 2 3 4 t Рисунок 7

Решение. Зададим аналитически

учтем, что , получим

Кратко перечислим рассмотренные свойства преобразования Лапласа

1. Линейность:

2.Подобие:

3. Смещение:

4. Запаздывание:

5. Дифференцирование оригинала:

6. Дифференцирование изображения

7. Интегрирование оригинала:

8. Интегрирование изображения:

9. Умножение изображений:

8. Умножение оригиналов:

Приведем таблицу часто встречающихся оригиналов и их изображений:

	Оригинал	Изображение
1.	1
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
	Оригинал	Изображение
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.