Операционное исчисление – это один из методов математического анализа, позволяющий в ряде случаев свести решение дифференциальных и некоторых типов интегральных уравнений к решению более простых алгебраических задач.

Операционное исчисление играет важную роль при решении прикладных

задач, что особенно важно для студентов технического вуза.

С помощью операционного исчисления можно также находить решения линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, уравнений в частных производных, уравнений в конечных разностях (разностных уравнений); производить суммирование рядов; вычислять интегралы. При этом решение этих и других задач значительно упрощается.

1. Оригиналы и их изображения

Основными понятиями операционного исчисления являются понятия функции-оригинала и функции-изображения.

Пусть – действительная функция действительного переменного(подбудем понимать время или координату).

Функция называетсяоригиналом, если она удовлетворяет следующим условиям:

1. при

2. – кусочно-непрерывная прит. е. она непрерывна или имеет точки разрыва 1-го рода, причем на каждом конечном промежутке оситаких точек только конечное число, причем

3. Существуют такие числа что для всехвыполняется неравенство, т. е. при возрастаниифункцияможет возрастать не быстрее некоторой показательной функции. Число(точная нижняя граница такихs) называется показателем роста .

Первое условие означает, что процесс начинается с некоторого момента времени; удобнее считать, что в момент Третьему условию удовлетворяют ограниченные функциистепенныеи многие другие.

Не являются оригиналами, например, функции вида (не выполняется условие 3), функции (не выполняется условие 2).

Условия 1) – 3) выполняются для большинства функций, описывающих различные физические процессы.

Замечание. Функция может быть и комплексной функцией действительного переменного, т. е. иметь видона считается оригиналом, если действительные функциииявляются оригиналами.

Изображением оригинала называется функциякомплексного переменного, определяемая интегралом

(1)

Операцию перехода от оригинала к изображениюназываютпреобразованием Лапласа. Соответствие между оригиналом и изображениемзаписывается в видеили, а также(принято оригиналы обозначать малыми буквами, а их изображения – соответствующими большими буквами).

Теорема 1 (существование изображения). Для всякого оригинала изображениесуществует в полуплоскостигдепоказатель роста функции, причем функцияявляется аналитической в этой полуплоскости

0 s0 s Рисунок 1

Докажем первую часть теоремы. Пусть произвольная точка полуплоскости(рис. 1). Учитывая, что находим

так как

Таким образом, (2)

Отсюда вытекает абсолютная сходимость интеграла (1), т. е. изображение существует и однозначно в полуплоскости

Следствие (необходимый признак существования изображения). Если функция является изображением функции, то

Это утверждение непосредственно вытекает из неравенства (2), когда

Так как – аналитическая функция в полуплоскоститоприпо любому направлению. Отсюда, в частности, следует, что функции не могут быть изображениями.

Отметим, что из аналитичности функции следует, что все ее особые точки должны лежать левее прямойили на самой этой прямой. Функция, не удовлетворяющая этому условию, не является изображением функции. Не является изображением, например, функция(ее особые точки расположены на всей осиs).

Теорема 2 (о единственности оригинала). Если функция служит изображением двух оригиналовто эти оригиналы совпадают друг с другом в тех точках, в которых они непрерывны.

Пример 1. Найти изображение единичной функции Хевисайда (рис. 2).

1(t) 1 t Рисунок 2

Решение. По формуле (1) при находим

т. е. или, в символической записи,или

Замечание. В дальнейшем функцию-оригинал будем кратко записывать в виде подразумевая, что

Пример 2. Найти изображение функции где любое число.

Решение. Данная функция является оригиналом. По формуле (1) имеем

если

Таким образом, (3)