Геометрический смысл частных производных первого порядка

Задача 5. Через точку поверхностипроведены плоскости, параллельные координатным плоскостямXOZ и YOZ. Определить углы, которые образуют с осями координат OX и OY касательные к получившимся сечениям, проведенные в их общей точке (рис. 3).

Решение. Геометрический смысл частных производных первого порядка функциисостоит в том, что частные значения этих частных производных, вычисленные в точке касания, определяют тангенсы углов наклона к соответствующим осям касательных к образовавшимся сечениям, проведенных в точке касания– это тангенсы углов наклона к соответствующим осям касательных в этой точке к кривым, которые образуются при пересечении поверхностиплоскостями, т. е.

z M0 0 y0 y β x0 х α Рис. 3

с осью OX: ; с осью OY: ; ; . Для отыскания производных данной функции преобразуем ее, используя формулу: .

Ответ: .

Задача 6. Найти частные производные второго порядка функции .

Решение. ,,

Заметим, что

Задача 7. Найти , если.

Решение. Вначале найдем .

; ;

.

Теперь найдем .

; ;

Сравнив ответы, убеждаемся в том, что частные производные смешанного типа не зависят от порядка дифференцирования.

Задача 8. Дана функция . Доказать, что эта функция удовлетворяет уравнению.

Решение.

	.

Подставим в уравнение найденные значения производных:

,

что и требовалось доказать.

Производная сложной функции

а) Если , где, то- сложная функциядвух переменных х и у, тогда

; .

б) Если , где, то- сложная функцияодной переменной х, тогда

- полная производная сложной функции одной независимой переменной х.

в) Если , где, то- сложная функция одной переменнойх и

.

Задача 9. Дана функция , гдет. е.– сложная функция двух переменныхх и у, где u и v - промежуточные аргумен-

ты. Найти .

Решение. ;

.

Задача 10. Дана функция . Найти.

Решение. Очевидно, что u – сложная функция одной независимой перемен-

ной t, а x, y и z – промежуточные аргументы, т. е. существует -полная производная сложной функции одной переменной.

.

Задача 11. Найти , если, где.

Решение.

, если .

Сравните: , т.к..

Производная функции, заданной неявно

а) Если , тоу – функция одной переменной х, заданная неявно.

.

б) Если , тоz – функция двух независимых переменных, заданная неявно.

; .

Задача 12. Дано: . Доказать, что.

Решение. Данное уравнение задает неявно функцию z, зависящую от переменных х и у. Запишем данное уравнение в виде .

. Очевидно, что

.

;

.

Очевидно: , что и требовалось доказать.