Решение типовых задач в аудитории

1. Сколькими способами можно выбрать 3 прибора из 6?

Решение. Поскольку порядок взятия приборов не играет роли, различные комбинации выбранных приборов отличаются только составом. Следовательно, число способов, которыми можно выбрать 3 прибора из 6, равно числу сочетаний из 6 по 3.

.

2. Карточка «Спортлото» содержит 49 чисел. Играющий зачеркивает 6 произвольных чисел по своему усмотрению. После тиража объявляется 6 «счастливых» чисел. В случае совпадения по крайней мере 3 зачеркнутых «счастливых» чисел владелец карточки получает выигрыш тем больший, чем больше чисел угадано. Максимальный выигрыш достигается, если удалось угадать все 6 чисел. Необходимо определить: а) сколькими способами можно зачеркнуть 6 чисел на карточке «Спортлото»? ; б) сколькими способами можно зачеркнуть 6 чисел на карточке «Спортлото» так, чтобы угадать 4 «счастливых» числа?; в) сколькими способами можно зачеркнуть 6 чисел на карточке «Спортлото» так, чтобы был обеспечен выигрыш?

Решение. Очевидно, что различные комбинации зачеркнутых чисел отличаются только составом, т. е. являются сочетаниями.

а) Общее число различных способов выбора 6 чисел из 49 равно . Используя (3), получим

.

б) 4 «счастливых» числа из 6 можно зачеркнуть способами, 2 «несчастливых» числа из (49-6) можно зачеркнутьспособами. Последовательный выбор 4 из 6 «счастливых» чисел и 2 из 43 «несчастливых» на основании правила умножения может быть выполненспособами.

.

в) выигрыш достигается, если угадано или 3, или 4, или 5, или 6 «счастливых» чисел, т. е. выигрыш может быть достигнут четырьмя вариантами (то, что эти варианты отнюдь не равноценны для выигравшего, в условии данной задачи значения не имеет). Используя правило сложения, получим, что число способов, которыми можно зачеркнуть 6 чисел так, чтобы обеспечить выигрыш, равно

3. Сколькими способами можно упорядочить множество чисел так, чтобы числа 1, 2, 3 стояли рядом в порядке возрастания?

Решение. Числа 1, 2, 3 можно полагать склеенными в порядке возрастания и рассматривать как один элемент. Тогда число элементов множества равно и они могут быть упорядоченыспособами (число перестановок изэлементов).

4. Сколькими различными способами можно разбросать шариков полункам так, чтобы в первую лунку попалошариков, во вторую -шариков …, в-ю –шариков?

Решение. Каждый шарик независимо от других выбирает себе лунку. Эту операцию он может выполнить способами. (Схема, в которой каждая лунка выбирает шарики, приводит к выбору с очень сложной взаимной зависимостью). Таким образом, речь идет о выборках с возвращением объемаизэлементов генеральной совокупности, причем выборки различаются только порядком, а состав их одинаков. (Пронумерованными считаются не только лунки, но и шарики, номера которых и определяют порядок взятия лунок). Следовательно, число таких выборок равно числуперестановок с повторениями и может быть определено по формуле (11):

.

5. Сколькими различными способами можно разбросать 4 шарика по 3 лункам?

Решение. Так же, как и в предыдущей задаче, каждый шарик независимо от других выбирает себе лунку, т. е. идет речь о выборках возвращениями объема 4

из 3 элементов. Но далее условие задач неоднозначно. По-видимому, вполне естественно считать лунки пронумерованными (различными). Однако шарики можно считать и пронумерованными, и непронумерованными. Соответственно выборки различаются или порядком и составом элементов, или только составом. В первом случае число различных выборок равно числу размещений с повторениями из 3 элементов по 4. При этом, в соответствии с (9) получим

.

Во втором случае число различных выборок равно числу сочетаний с повторениями из 3 элементов по 4. При этом в соответствии (12) находим

.