Выборки с возвращением

Выборка с возвращением объема из генеральной совокупности, содержащейэлементов, называется размещением с повторениями изпо. Числоразмещений с повторениями изэлементов понайдем из следующих соображений. Каждый элемент может быть выбранспособами, а общее число способов формирования выборки объемаподсчитывается на основании правила умножения. Следовательно,

.

Выборка с возвращением объема из содержащейэлементовгенеральной совокупности называетсяперестановкой с повторениями, если во все выборки элемент входитраз, элементраз, …, элементраз, причем. Определим числоперестановок с повторениями. Для этого учтем, что элементможет быть выбранраз в ходепоследовательных извлеченийспособами, элементможет быть выбранраз в ходеостальных извлеченийспособами, …, элементможет быть выбранраз в ходеизвлеченийспособами и, наконец, элементможет выбранспособом. Отсюда, используя правило умножения, запишем

. (10)

Подставив выражение (3) в (10), после сокращения получим

(11)

Выражение (11) можно получить и другим способом. Из элементов, составляющих выборку, можно сформироватьперестановок. Однако из-за наличия в выборке повторяющихся элементов часть перестановок будет неразличима между собой. Так, неразличимыми являютсяперестановок, образованных взаимным обменом мест между элементамиперестановок, образованных взаимным обменом мест между элементами, и т.д. Отсюда, используя правило умножения, приходим к выражению (11).

Отличающиеся только составом элементов выборки с возвращением объема из генеральной совокупности, содержащейэлементов, называютсясочетаниями с повторениями из по. Определим числосочетаний с повторениями изэлементов по. Для этого расположим элементы выборки в один ряд, причем вначале поместим все входящие в выборку элементы, затем все входящие в выборку элементыи т. д. На границах между элементами различных типов будем устанавливать не входящий в генеральную совокупность пограничный элемент. При этом, даже в случае отсутствия в выборке каких-либо элементов генеральной совокупности, границы их возможного расположения будем отмечать элементами.

Например, при ив числе различных по положению пограничных элементов выборок будут и такие:

Таким образом, число пограничных элементов, вносимых в каждую выборку, должно быть на единицу меньше числа элементов генеральной совокупности, а общее число элементов выборки и пограничных элементов равно . Очевидно, что числовыборок с возвращением, различающихся составом, совпа-

дает с числом способов, каким можно расположить пограничный элемент на

позициях, а это число равно . Следовательно,

(12)

Примечание. В комбинаторных расчетах часто используется формула Стирлинга

, (13)

которая облегчает вычисление при больших значениях.