Задачи для самостоятельного решения

4.9. Разложить в ряд Лорана по степеням функциюв окрестности точки.

4.10. Разложить в ряд Лорана по степеням функциюв окрестности точки.

4.11. Разложить в ряд Лорана функциюпо степенямв области.

4.12. Разложить в ряд Тейлора или Лорана функцию в окрестности точек: а); б).

4.13. Найти порядки нулей функций:

а) ; б); в); г).

4.14. Определить характер точек следующих функций:

а)	б)
в)	г)
д)

4.15. Найти особые точки функций, выяснить их характер и исследовать поведение функций на бесконечности: а) б).

ВЫЧЕТЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ

Вычетом функции относительно конечной изолированной особой точкиназывается число, обозначаемоеи определяемое равенством, где – любая окружность с центром, внутри которой– единственная особая точка;. Здесь– коэффициент прив разложениив ряд Лорана в окрестности точки.

Если – устранимая особая точка, то.

Если – простой полюс, то.

Если , гдеи аналитичны в точке ,

(т. е. – простой полюс), то

.

Если – полюс-го порядка для , то

.

Пример 22. Определить вычеты функции относительно точек.

Решение.

.

или

.

Пример 23. Определить вычет функции относительно особой точки.

Решение. Точка – существенно особая точка (см. пример 20).

Ряд Лорана для функции в областиимеет вид

;

.

Основная теорема о вычетах. Если функция аналитична на простом замкнутом контуреи внутри него, за исключением конечного числа особых точек, лежащих внутри, то

.

Пример 24. Вычислить .

Решение. Функция имеет одну особую изолированную точку (полюс 1-го порядка), лежащую в области. Значит,

.

Пример 25. Вычислить , где– окружность.

Решение. .

–полюс 3-го порядка, – полюсы 1-го порядка, лежащие внутри контура интегрирования, тогда

;

;

;

.

.

Пример 26. Вычислить .

Решение. – существенно особая точка, т. к.не существует.

;

;

;

.

Вычетом относительно бесконечно удаленной изолированной особой точки функции называется обозначаемоечисло, равное

,

где – любая окружность с центром в точке, содержащая внутри себя все особые точки, кроме точки, и контуробходится по часовой стрелке, где – коэффициент прив разложении в ряд Лорана в окрестности точки.

Если функция аналитична в расширенной комплексной плоскости всюду, за исключением конечного числа особых точек, то сумма вычетов функцииотносительно всех ее особых точек равна нулю.

Пусть функция есть функция аналитическая всюду в верхней полуплоскости, включая действительную ось, за исключением конечного числа особых точек , лежащих в верхней полуплоскости. Кроме того, бесконечно удаленная точка есть нуль не ниже второго порядка для функции , т. е.. Тогда

.

Пример 27. Вычислить интеграл .

Решение. удовлетворяет всем условиям сформулированной теоремы.

–простые полюсы, лежащие в верхней полуплоскости.

Тогда

.

Если функция , причеманалитична всюду в верхней полуплоскости, включая действительную ось, за исключением конечного числа особых точек, лежащих в верхней полуплоскости, кроме того, бесконечно удаленная точка является нулем функции, т. е. , то

.

Пример 28. Вычислить интеграл .

Решение

, т. к. подынтегральная функция четная.

.

Функция удовлетворяет условиям сформулированной выше теоремы. – полюс 1-го порядка, лежащий в верхней полуплоскости. Тогда

;

.

Задачи

5.1. Вычислить вычеты следующих функций относительно их конечных особых точек:

а) ,

б) ,

в) ,

г) ,

д) .

5.2. Вычислить с помощью вычетов следующие интегралы:

а) ,	б) ,
в) ,	г) , где– прямоугольник с вершинами .

5.3. Вычислить с помощью вычетов следующие несобственные интегралы:

а) ;

б) ;

в) .