Задачи для самостоятельного решения

2.10. Будет ли дифференцируемой функция

2.11. Показать, что функция дифференцируема и найти ее производную.

2.12. При каком значении функциядифференцируема?

2.13. При каком значении функциядифференцируема?

2.14. Найти аналитическую функцию , если

а) б)в).

2.15. Найти коэффициент растяжения и угол поворота при отображении :

а) в точках

б) в точках.

ИНТЕГРАЛ ОТ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

Интеграл от непрерывной функции комплексного переменного вдоль кусочно-гладкой дуги АВ вычисляется по формуле

.

Или, если т. е.– параметрические уравнения дуги АВ,~,~, то

Пример 9. Вычислить , если– окружность.

Решение.

y 0 1 x Рисунок 11

Для вычисления полученных криволинейных интегралов используем параметрические уравнения окружности (рис. 11).

Тогда

Иначе, уравнением окружности будет .

Тогда .

Если – аналитическая функция в односвязной области, то значение интеграла, взятого вдоль произвольной кусочно-гладкой дуги, принадлежащей области, не зависит от дуги, а определяется лишь положениями начальной и конечной точек этой дуги, и вычисление интеграла производится по формуле Ньютона-Лейбница:

,

где – какая-нибудь первообразная функция по отношению к.

Для нахождения первообразной функции по отношению к аналитической функции применяются обычные формулы интегрирования.

Пример 10. Вычислить .

Решение. .

Пример 11. Вычислить интеграл , где– верхняя половина окружности с центромединичного радиуса; направление обхода положительное(– главное значение корня, получаемое из общей формулы при).

Решение. .

y B 0 A x Рисунок 12

При .

При

Основная теорема Коши для односвязной области. Если функция аналитична в односвязной области, то интеграл от этой функции вдоль всякого кусочно-гладкого замкнутого контура, лежащего в, равен нулю.

Пусть – простой (несамопересекающийся) кусочно-гладкий замкнутый контур,– простые кусочно-гладкие замкнутые контуры, лежащие внутри, но вне друг друга. Если функцияаналитична в многосвязной области, лежащей между контуроми контурами, и на этих контурах, то

.

(основная теорема Коши для многосвязной области).

Пример 12. Найти значение интеграла , если путь интегрирования не проходит через начало координат.

Решение. Если путь интегрирования не обходит начало координат

(рис. 13а), то .

y z 0 1 x а)	y z С m А 0 1 B x б)	y z С m А 0 1 B x в)
	Рисунок 13

Пусть путь интегрирования обходит один раз нулевую точку в положительном направлении (рис. 13б). Тогда (рис. 13в)

(рис. 13в);

y m A B 0 1 x Рисунок 14

(рис.14); , где – окружность, т. к. в области между двумя контурами ифункция аналитическая.

Вычислим .

Тогда

Если путь интегрирования делает оборотов в положительном (или отрицательном) направлении около нулевой точки, то, очевидно, к значениюприбавляется (или отнимается) число. Таким образом, при всяком

.

Если функция аналитична в области, лежащей внутри простого кусочно-гладкого замкнутого контураи на этом контуре, то для любой точки, лежащей внутри, справедливы формулы

(формула Коши),

(обобщенная формула Коши).

Пример 13. Вычислить интеграл ,

где 1) ; 2).

Решение. 1) аналитична в круге. Используя формулу

y 0 4 x Рисунок 15

Коши, получаем .

2) Так как аналитична внутри области, ограниченной окружно-

y 0 x Рисунок 16

стью , то по теореме Коши .

Пример 14. Вычислить интеграл .

y -1 2 3 x Рисунок 17

Решение. Подынтегральная функция аналитична везде, кроме точеки. Функция будет аналитической в трехсвязной области, являющейся кругом, ограниченным окружностью, из которого вырезаны два круга:;, где– достаточно малая величина (рис. 17).

Следовательно, по теореме Коши для многосвязной области

Для вычисления интеграла по контуру применим обобщенную формулу Коши, гдеаналитична внутри контура.

.

Для вычисления интеграла по контуру применим формулу Коши, гдеаналитична внутри контура:

Задачи

3.1. Вычислить , где– дуга параболыот точкидо точки.

3.2. Вычислить , где– прямолинейный отрезок, соединяющий точкии.

3.3. Вычислить по левой полуокружности с центром в точкеи радиусом, если.

3.4. Вычислить , где– граница области.

3.5. Вычислить , где– произвольная линия, соединяющая точки.

3.6. Вычислить .

3.7. Вычислить по следующим контурам:

а) по полуокружности (–ветвь, получаемая из общей формулы при );

б) по полуокружности .

3.8. Вычислить , где.

3.9. Вычислить .

3.10. Вычислить , где а); б) .

3.11. Вычислить , где – окружность.

3.12. Вычислить , где – окружность.

3.13. Вычислить .