Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов

Пусть . Тогда ряд будем называть знакоположительным. Сформулируем некоторые достаточные условия сходимости таких рядов.

Признак сравнения

Пусть и– знакоположительные ряды. Если для всехвыполняется неравенство, то из сходимости рядаследует сходимость ряда, а из расходимости рядаследует расходимость ряда.

Этот признак остается в силе, если неравенство выполняется не при всех, а лишь начиная с некоторого номера. Его можно проинтерпретировать следующим образом: если больший ряд сходится, то меньший тем более сходится; если расходится меньший ряд, то больший также расходится.

Пример 4. Исследовать сходимость ряда , если

а)

;

б)

;

Решение.

а) Заметим, что для всех . Ряд с общим членом сходится, т.к. является рядом геометрической прогрессии со знаменателем (см. пример 1), поэтому данный ряд сходится по признаку сравнения.

б) Сравним ряд с рядом. Очевидно, что для всех, поэтому. В примере 3 было доказано, что ряд с общим членом расходится, значит, данный ряд также расходится.

Несмотря на простоту формулировки признака сравнения, на практике более удобна следующая теорема, являющаяся его следствием.

Предельный признак сравнения

Пусть и– знакоположительные ряды. Если существуетконечный и не равный нулю предел , то оба рядаи

одновременно сходятся или одновременно расходятся.

В качестве ряда, используемого для сравнения с данным, часто выбирают ряд вида . Такой ряд называетсярядом Дирихле. В примерах 3 и 4 было показано, что ряд Дирихле с ирасходится. Можно пока-

зать, что ряд .

Если , то рядназывается гармоническим. Гармонический ряд расходится.

Пример 5. Исследовать на сходимость ряд с помощью предельного признака сравнения, если

а)

;

б)

;

в)

;

Решение. а) Так как при достаточно больших ~, а

~ , то~. Выберем для

сравнения с данным гармонический ряд , т.е. .

( см. [5] ).

Поскольку предел конечен и отличен от нуля и гармонический ряд расходится, то расходится и данный ряд.

б) При достаточно больших ~,~, поэтому– общий член ряда, с которым будем сравнивать данный:

( см. [5] ).

Ряд сходится (ряд Дирихле с ), поэтому данный ряд также сходится.

в) , поэтому бесконечно малую можно

заменить на эквивалентную ей при величину(~при– см. [5]).

Тогда – общий член ряда для сравнения.

.

Так как предел конечен и не равен нулю, а ряд расходится (ряд Дирихле с ), то данный ряд расходится.

Существуют признаки сходимости рядов, позволяющие непосредственно судить о сходимости или расходимости данного ряда, не сравнивая его с рядом, поведение которого известно.

Признак Даламбера

Пусть – знакоположительный ряд. Если существует , то при ряд сходится, а при ряд расходится.

Если , то признак Даламбера не дает возможности судить о поведении ряда. В этом случае необходимо дополнительное исследование, например, с помощью признаков сравнения.

В примерах 5 а), б) с помощью предельного признака сравнения было установлено, что ряд расходится, а рядсходится. Посмотрим, как работает применительно к этим рядам признак Даламбера:

,

;

(см. [5]).

Таким образом, в каждом из этих случаев признак Даламбера не приводит к определенному ответу: при ряд может быть и сходящимся, и расходящимся.

Пример 6. Исследовать на сходимость ряд с помощью признака

Даламбера, если

а)	;		б)	;			в)	;
г)		;			д)	.

Решение. а) Так как , то

Это означает, что ряд расходится.

б) Символ (читается “эн факториал”) – сокращенное обозначение произведения всех натуральных чисел от единицы до данного натурального числаn:

. Например, ,,

,

,

,

.

Так как , то для любого

и поэтому ряд сходится. Отсюда можно сделать весьма важный вывод: так как при любом рядсходится, то по необходимому признаку сходимости.

в) Так как , то

(см. [5]), т. е. ряд сходится.

г) Для того, чтобы записать , заменим вна. Тогда к

произведению добавится еще один сомножитель, равный

, а к произведению – еще два сомножителя:

, поэтому

.

Значит, данный ряд сходится.

д) Заметим, что при , поэтому при вычислении предела можно воспользоваться принципом замены эквивалентных бесконечно малых (см. [5]), заменивна эквивалентную бесконечно малую величину :

.

Следовательно, ряд сходится.

Анализ рассмотренных примеров позволяет сделать следующий вывод: признак Даламбера непременно дает ответ на вопрос о сходимости рядов, общий член которых содержит факториал или показательную функцию .

Радикальный признак Коши

Пусть – знакоположительный ряд. Если существует ,

то при ряд сходится, а при ряд расходится.

Если ряд может как сходиться, так и расходиться. Выяснить это можно с помощью дополнительного исследования, например, используя признаки сравнения.

При применении радикального признака Коши бывает полезно знать, что

. (3)

Пример 7. Исследовать на сходимость ряд с помощью радикального признака Коши

а)

;

б)

;

в)

;

г)

;

д)

.

Решение. а) Так как и ,

(см. равенство (3) ), то и поэтому ряд сходится.

б) В этом случае . Так как

(см. [5]), а , то

Это означает, что данный ряд сходится.

в) В этом случае удобно применить признак Коши, т. к. , а предел этого выражения находится просто:

.

Значит, ряд сходится.

г) Заметим, что при , а.

Кроме того, т. к. , то , поэтому

и поэтому ряд расходится.

д) Так как и

(см. [5] ), то .

Следовательно, ряд расходится.

Признак Даламбера и радикальный признак Коши основаны, по существу, только на свойствах геометрической прогрессии. Поэтому при исследовании медленно сходящихся или медленно расходящихся рядов (прогрессии в их число не входят) эти признаки оказываются нечувствительными . В таких случаях, кроме признаков сравнения, можно использоватьинтегральный признак Коши. Этот признак четко проводит различия между сходящимися и расходящимися рядами, даже если члены одного из них лишь незначительно отличаются от членов другого.

Интегральный признак Коши

Пусть члены знакоположительного ряда не возрастают:

. Пусть, кроме того, – непрерывная,

невозрастающая функция, определенная для всех , такая, что

. Тогда ряд и несобст-

венный интеграл сходятся или расходятся одновременно.

Пример 8. Исследовать на сходимость ряд с помощью интегрального признака Коши, если

а)

;

б)

;

в)

;

г)

.

Решение. а) – ряд Дирихле с. Ранее было отмечено, что этот ряд расходится. Докажем это. Рассмотрим функцию. Она не-

прерывна и убывает при всех . Кроме того,, поэтомуудовлетворяет условиям теоремы.

Вычислим .

Несобственный интеграл расходится, значит, расходится и данный ряд.

б) – ряд Дирихле с. Как было отмечено, этот ряд сходится.

Чтобы убедиться в этом, применим интегральный признак Коши: ,

; .

Несобственный интеграл сходится, поэтому сходится и данный ряд.

в) Рассмотрим при функцию. Ее производная

при всех . Следовательно,убывает

и .

.

Несобственный интеграл сходится, а потому сходится и данный ряд.

г) Функция непрерывна и убывает при всех. Несобственный интеграл

,

т. е. расходится, значит, ряд тоже расходится.