1.5. Метод Ньютона (метод касательных)

Метод Ньютона является наиболее эффективным методом решения нелинейных уравнений. Пусть корень , т. е.. Предполагаем, что функциянепрерывна на отрезкеи дважды непрерывно дифференцируема на интервале. Положим. Проведем касательную к графику функции в точке(рис. 8).

Рис. 8

Уравнение касательной будет иметь вид: .

Первое пересечение получим, взяв абсциссу точки пересечения этой касательной с осью , т. е. положив:.

Аналогично поступим с точкой , затем с точкойи т. д., в результате получим последовательность приближений, причем

. (6)

Формула (6) является расчетной формулой метода Ньютона.

Метод Ньютона можно рассматривать как частный случай метода простых итераций, для которого .

Сходимость метода. Сходимость метода Ньютона устанавливает следующая теорема.

Теорема. Пусть – простой корень уравненияи в некоторой окрестности этого корня функция дважды непрерывно дифференцируема. Тогда найдется такая малая – окрестность корня, что при произвольном выборе начального приближения из этой окрестности итерационная последовательность, определенная по формуле (6) не выходит за пределы этой окрестности и справедлива оценка:

, (7)

где .

Сходимость метода Ньютона зависит от того, насколько близко к корню выбрано начальное приближение.

Выбор начального приближения. Пусть – отрезок, содержащий корень. Если в качестве начального приближения выбрать тот из концов отрезка, для которого , то итерации (6) сходятся, причем монотонно. Рис. 8 соответствует случаю, когда в качестве начального приближения был выбран правый конец отрезка:(Здесь).

Погрешность метода. Оценка (7) неудобна для практического использования. На практике пользуются следующие оценки погрешности:

. (8)

Критерий окончания. Оценка (8) позволяет сформулировать следующий критерий окончания итераций метода Ньютона. При заданной точности вычисления нужно вести до тех пор, пока не будет выполнено неравенство

.

Пример. Вычислить методом Ньютона отрицательный корень уравнения с точностью до 0,0001. Проведя отделение корня, можно убедиться, что корень локализован на интервале. В этом интервалеи. Так каки, то за начальное приближение можно принять.

-11	3453	-5183	0,6662
-10,3336	307,3	4276,8	0,0718
-10,2618	3,496	4185,9	0,0008
-10,261	0,1477	-	-

. Поэтому .

1.6. Видоизменённый метод Ньютона

Если производная мало изменяется на отрезке, то в расчетной формуле метода можно положить:. Отсюда для корняуравненияполучаем последовательные приближения

.

Геометрически этот способ означает, что касательные заменяются прямыми, параллельными касательной к кривой , в ее фиксированной точке. Этот способ избавляет от необходимости вычислять каждый раз значения производной, поэтому эта формула полезна, еслисложна.

1.7. Метод хорд

Рассмотрим еще одну модификацию метода Ньютона. Пусть известно, что простой корень уравнениянаходится на отрезке, то есть. И предположим, чтопри(если это не так, то будем рассматривать уравнение). Заменим кривуюхордой.

А

у

х₂ х₁ b = x₀

а х^* x

В

Рис. 9

y

B

а = х₀ х₁ х₂ b

х^* x

А

Рис. 10

Возможны два случая: 1) (рис. 9); 2)(рис. 10). В первом случае конец неподвижен и последовательные приближения:

(9)

образуют ограниченную монотонно убывающую последовательность, причем .

Во втором случае неподвижен конец , а последовательные приближения:

(10)

образуют ограниченную монотонно убывающую последовательность, причем Итак, в результате получаем следующее

Выбор начального условия:

1. Рассматриваем только случай (иначе).

2. Начальное приближение x₀ выбираем из условия

Неподвижен тот конец, для которого знак функции совпадает со знаком ее второй производной.

Критерий окончания. Критерий окончания итераций метода хорд такой же, как и для метода Ньютона. При заданной точности вычисления нужно вести до тех пор, пока не будет выполнено неравенство.

Пример. Найти положительный корень уравнения с точностью . Отделим корень. Так как,, то. Разделим интервал пополам:, тогда.

Найдём производные: ,. Исходя из того, что, тои пользуемся формулой (10):,.

, ,.

Так как , то.