5. Метод Ньютона (метод касательных)

Метод Ньютона является наиболее эффективным методом решения нелинейных уравнений. Пусть корень , т. е.. Предполагаем, что функциянепрерывна на отрезкеи дважды непрерывно дифференцируема на интервале. Положим. Проведем касательную к графику функции в точке(рис. 8).

Рис. 8

Уравнение касательной будет иметь вид: .

Первое пересечение получим, взяв абсциссу точки пересечения этой касательной с осью , т. е. положив:.

Аналогично поступим с точкой , затем с точкой, и т. д. в результате получим последовательность приближений, причем

. (6)

Формула (6) является расчетной формулой метода Ньютона.

Метод Ньютона можно рассматривать как частный случай метода простых итераций, для которого .

Сходимость метода. Сходимость метода Ньютона устанавливает следующая теорема.

Теорема. Пусть - простой корень уравнения, и в некоторой окрестности этого корня функция дважды непрерывно дифференцируема. Тогда найдется такая малая - окрестность корня, что при произвольном выборе начального приближения из этой окрестности итерационная последовательность, определенная по формуле (6) не выходит за пределы этой окрестности и справедлива оценка:

, (7)

где .

Сходимость метода Ньютона зависит от того, насколько близко к корню выбрано начальное приближение.

Выбор начального приближения. Пусть - отрезок, содержащий корень. Если в качестве начального приближения выбрать тот из концов отрезка, для которого , то итерации (6) сходятся, причем монотонно. Рис. 8 соответствует случаю, когда в качестве начального приближения был выбран правый конец отрезка:(Здесь).

Погрешность метода. Оценка (7) неудобна для практического использования. На практике пользуются следующие оценки погрешности:

(8)

Критерий окончания. Оценка (8) позволяет сформулировать следующий критерий окончания итераций метода Ньютона. При заданной точности вычисления нужно вести до тех пор, пока не будет выполнено неравенство

.

Пример. Вычислить методом Ньютона отрицательный корень уравнения с точностью до 0,0001. Проведя отделение корня, можно убедиться, что корень локализован на интервале

. В этом интервале и. Так каки, то за начальное приближение можно принять.

-11	3453	-5183	0,6662
-10,3336	307,3	4276,8	0,0718
-10,2618	3,496	4185,9	0,0008
-10,261	0,1477	-	-

. Поэтому .

6. Видоизменённый метод Ньютона

Если производная мало изменяется на отрезке, то в расчетной формуле метода можно положить:. Отсюда для корняуравненияполучаем последовательные приближения

.

Геометрически этот способ означает, что касательные заменяются прямыми, параллельными касательной к кривой , в ее фиксированной точке. Этот способ избавляет от необходимости вычислять каждый раз значения производной, поэтому эта формула полезна, еслисложна.