§ 5. Формула полной вероятности. Формула Байеса

Рассмотрим следующую задачу. имеются три урны с указанным количеством белых и черных шаров (рис. 7).

Рис. 7

Испытание:из наугад выбранной урны наугад берут один шар. Найти вероятность того, что шар белый.

обозначим: событиеА– выбран белый шар,Р(А) – ?.

Введем три предположения (гипотезы):

Н₁– выбран шар изI-ой урны;

Н₂– выбран шар изII-ой урны;

Н₃– выбран шар изIII-ей урны.

Очевидно, эти гипотезы являются несовместными событиями, одно из которых обязательно реализуется в результате испытания, то есть

.

Найдем вероятности следующих событий:

,,.

Р(А·Н₁) =Р(Н₁)Р(А/Н₁),;

Р(А·Н₂) =Р(Н₂)Р(А/Н₂),;

Р(А·Н₃) =Р(Н₃)Р(А/Н₃),.

Откуда имеем:

Р(А) =Р(АН₁+АН₂+АН₃) =Р(АН₁) +Р(АН₂) + +Р(АН₃).

Перенесем эту задачу в следующую общую ситуацию: событие Аможет наступить при одной изnвзаимоисключающих гипотезН₁,Н₂, …,Н_n. Рассуждая аналогично, применяя формулы сложения, умножения событий, получаем формулу

Р(А) =Р(Н₁)Р(А/Н₁)+Р(Н₂)Р(А/Н₂) + … +Р(Н_n)Р(А/Н_n), (9)

которая называется формулой полной вероятности.

Вычисление вероятностей гипотез при наличии дополнительной информации. Формула Байеса.

Рассмотрим две задачи.

рис. 8

1. Известно, что в соседней комнате проводилось следующее испытание: из наугад выбранной урны (рис. 8) брали наугад один шар. Какова вероятность того, что его брали: а) из первой урны (Н₁); б) из второй урны (Н₂)?

В этой ситуации оба предположения следует считать равновозможными:

.

2. Известно, что в соседней комнате проводилось то же испытание, и был вынут белый шар. какова вероятность, что шар взят: а) из первой урны; б) из второй урны.

В этой ситуации гипотезы нельзя считать равновоз­мож­ными: в первой урне значительно больше белых шаров, чем во второй. Как в этой ситуации найти вероятности гипо­тез?

Эта задача может быть в общем виде сформулирована так:

1. в данном испытании интересующее нас событие Аможет наступить при одной изnвзаимоисключающих гипотезН₁,Н₂, …,Н_n;

2. известно, что испытание проведено и его результат известен: наступило событие А. Как найти вероятностиР(Н₁/А),Р(Н₂/А), …,Р(Н_n/А)?

Утверждение.В указанной ситуации справедлива формула:

, (10)

которая называется формулой Байеса.

Доказательство.По формуле (7) имеем

Р(А·Н_k) =Р(А) ·Р(Н_k/А),

Р(А·Н_k) =Р(Н_k) ·Р(А/Н_k).

Откуда, учитывая формулу (9), получаем

.

§ 6. Схема с повторением испытаний (схема Бернулли)

Рассмотрим следующую часто встречающуюся ситуацию.

1. Проводится серия n независимых испытаний. незави­симость испытаний означает, что при выполнении каждого следующего испытания полностью восстанавливается ком­плекс условий, при которых выполнялось предыдущее испытание.

2. При каждом испытании интересующее нас событие А(успех) наступает с вероятностьюри не наступает с вероятностьюq= 1 –p.такую ситуацию будем называтьсхемой с повторением испытанийилисхемой бернулли.

Обозначим через число успехов в серии изnнезависимых испытаний. Очевидно,в зависимости от случая принимает значения

0, 1, 2, …, n.

Каковы вероятности этих значений?

Теорема 1. Справедлива формула

,k= 0, 1,…,n. (11)

эта формула называетсяформулой Бернулли.

Доказательство.

.

Здесь Y(успех) – появление событияА,Н(неуспех)– непоявление событияА.

Число слагаемых в этой сумме равно числу способов выбрать kмест изnсвободных мест, то есть числу сочетаний изnпоk:

,

что и требовалось доказать.

Пример 1.Проводится десять независимых бросаний монеты. Найти вероятность того, что три раза из 10 выпадет герб.

Решение.Здесь успех – выпадение герба,– число успехов,p=q= ,n= 10,k=3. Следовательно, из формулы (11) имеем

.

Пример 2.Проводится 100 независимых бросаний монеты. НайтиР(40≤≤ 60),- число выпадений герба.

Решение.

Р(40≤≤ 60) =Р(= 40) +Р(= 41) +Р(= 42) + … +

+ Р(= 60) =.

Мы видим: если в схеме Бернулли число испытаний n велико, то подсчет вероятностей видаP(m₁≤≤m₂) с помощью формулы Бернулли весьма затруд­нен.

укажем приближенную формулу для подсчета таких ве­роятностей, доказанную независимо французскими математи­ками Муавром и Лапласом.

для этого вначале введем функцию, которая называетсяфункцией Лапласаи обозначаетсяФ(х):

. (12)

Укажем график и некоторые свойства этой функции.

1⁰.Ф(0) = 0;

2⁰.Ф(–х) = –Ф(х);

3⁰.если |x | ≥ 3, тоФ(х)0,5 с большой точностью.

Для функции Лапласа имеются таблицы.

Теорема 2.В схеме Бернулли при достаточно большом числе испытаний справедлива приближенная формула:

P(m₁≤≤m₂) . (13)

эта формула называетсяинтегральной формулой Муавра-Лапласа. Доказательство этой формулы приводится в §3 главы3. Вычисления показывают, что эта формула является практически точной приn≥ 30.

Вернемся к решению примера 2.

решение.Здесьn=100,p=q= . По формуле Муавра-Лапласа найдем

Р(40 ≤≤ 60)

Замечание.Интегральная формула Муавра-лапласа указывает правила вычисления вероятности неравенств видаP(m₁ ≤≤m₂) в схеме Бернулли при большом числе испытаний. Укажем правило вычисления вероятностейP(=k) в этой ситуации.

Рассмотрим функцию

.

Очевидно, φ(х)связана с функцией Лапласа равенством

.

При большом числе испытаний справедлива приближенная формула

. ()

эта формула называетсялокальной формулой Муавра-Лапласа. Для функции (13^') имеются таблицы.