§ 3. Действия над событиями

Пусть с испытанием связаны события А,В.

Определение 1.Суммой событийА,Вназывается третье событиеС, состоящее в наступлении хотя бы одного из событийА, В:

С=А+В.

Пример 1.Испытание: берут наугад точку в областиD(рис 2). Рассмотрим события:

А –попадание в областьd₁;

В – попадание в областьd₂;

С– попадание в заштрихованную область.

Тогда С=А+В.

Определение 2.Произведением двух событийА,Вназы­вается третье событиеС, состоящее в одновременном наступ­лении этих событий:С=А ·В.

Пример 2.Испытание:берут наугад точку в областиD(рис 2). Рассмотрим события:

А –попадание в областьd₁;

В – попадание в областьd₂;

С – попадание в общую часть областейd₁иd₂.

Тогда С=А ·В.

Определение 3. Событие В называется противополож­ным событию А, если оно состоит не в наступлении события А:

В=.

Пример 3.Испытание:берут наугад точку в областиD(рис 3).

Событие А: попадание в областьd₁;

Событие В: попадание в областьd₂.

Тогда В=.

Замечание.Укажем другие обозначения для введенных операций:

А+ВАилиВ;

А·ВАиВ;

 неА.

Сумма событий – операция "или";

произведение событий – операция "и";

переход к противоположному событию – операция "не".

Из определения суммы и произведения событий вытекают следующие свойства введенных трех операций.

1) А+А=А; 8)А·=А;

2) А+=А; 9)А·В=В·А;

3) А+=; 10) (А·В) ·С=А· (В·С);

4) А+В=В+А; 11) (А+В) ·С=А ·С+В·С;

5) (А+В) +С=А+ (В+С); 12);

6) А·А=А; 13).

7) А·=;

Докажем свойства 12 и 13, остальные 1–11 очевидны.

Событие А+В состоит в наступлении хотя бы одного из событий:А,В,следовательно событиесостоит в ненаступлении ни одного из событийА,В. Тот же смысл имеет произведение, то есть, что и требовалось.

Событие состоит в одновременном наступлении событийА, В,следовательно событиесостоит в ненаступлении хотя бы одного из событийАилиВ.Тот же смысл имеет сумма, то есть, что и требовалось.

Множество элементов, удовлетворяющих указанным свойствам, называется алгеброй Буля. Алгебра Буля играет важную роль в математической логике, являющейся одной из теоретических основ ЭВМ.

В математической логике применяются следующие названия указанных операций: "или" – дизъюнкция; "и" – конъюнкция; "не" – отрицание.

§ 4. Теоремы сложения и умножения вероятностей

Теорема 1.Пусть с испытанием связаны событияА,В. Справедлива формула:

Р(А+В) =Р(А) +Р(В) –Р(А·В). (5)

Вероятность суммы двух событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их произведения.

Доказательство.Проведем доказательство в рамках схемы геометрической вероятности.

Испытание:берут наугад точку в областиDравновозможным образом (рис. 4).

Событие А: попадание в областьd₁;

Событие В: попадание в областьd₂.

р(А+В) =Р(попадание в заштрихованную область) =

=	благоприятная площадь					=	пл. d1 + пл.d2 –пл.d3		=
	вся возможная площадь						площадь D
=	пл.d1	+	пл.d2	–	пл.d3			= Р(А) +Р(В) –Р(АВ),
	пл.D		пл.D		пл.D

что и требовалось доказать.

Замечание 1.СобытияА,Вназываютсянесовместными,если они не могут произойти одновременно при данном испытании. Для несовместных событий справедлива формула

Р(А+В) =Р(А) +Р(В). (6)

Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

В самом деле, по теореме сложения имеем:

.

Замечание 2.Справедлива формула:

Р(А) = 1 –Р().

Вероятность наступления события равна единице минус веро­ятность ненаступления события. В самом деле:

;

.

Откуда имеем:

,

,

следовательно,

Р(А) +Р() = 1, то естьР(А) = 1 –Р().

Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей

Пусть с испытанием связаны события А,В. ЗаписьР(В/А) означает: вероятность событияВпри условии, что событиеАнаступило.

Поясним на примере.

Испытание:берут наугад точку в областиDравновозможным образом.

Событие А: попадание в областьd₁;

Событие В: попадание в областьd₂.

Тогда, имеем (рис.5):

Р(В)=,	Р(В/А) =	благоприятная площадь	=	пл. d3
		вся возможная площадь		пл. d1	.

Вероятность Р(В/А) называетсяусловной вероятностью.

Теорема 2.Справедлива формула

. (7)

Вероятность произведения двух событий равна вероятности одного из них, умноженного на вероятность другого при условии, что первое наступило.

Доказательство.Доказательство проведем в рамках схемы геометрической вероятности (рис. 5).

.

Замечание.1.Будем говорить, что событие В не зависит от события А, если выполняется равенствоР(В/А) =Р(В), в этом случае

. (8)

Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Доказать самостоятельно:

если событие Вне зависит от событияА, то событиеАне зависит отВ.

2. .

Пример.В урне содержится 7 белых и 3 черных шара (рис. 6).

Испытание:из урны берут наугад два шара равновозможным образом.

Найти вероятность того, что они:

а) оба белые (Р(бб) – ?);

б) оба черные (Р(чч) – ?);

в) одного цвета;

г) разного цвета.

Решение.

Iспособ. По определению вероятности (1) (гл.1§1) и по формуле (2) имеем:

а) Р(бб);

б) Р(чч).

IIспособ. По формулам (6) и (7) имеем:

а) Р(бб) = Р (1^й белый и 2^й белый) = Р(1^й белый) ·Р (2^й б/ 1^й б) =

.

б) Р(чч) =Р (1^йчерный и 2^йчерный) =Р(1^йч) ·Р(2^йч/ 1^йч) =

.

в) Р(одного цвета) =Р (1^й б и 2^й б или 1^й ч и 2^й ч) = Р(бб + чч) =

= Р(бб) +Р(чч) ==.

г) Iспособ.

Р(разного цвета) =Р (б·ч + ч·б) =Р(б·ч) +Р(ч·б) =

.

IIспособ.

Р(разного цвета) = 1 –Р(одного цвета) = 1 –=.