§ 4. Выборочные оценки параметров случайной величины. Основные требования к оценкам

Для выполнения инженерных расчетов, связанных с прогнозированием по массовым случайным явлениям и основанных на методах теории вероятностей, необходимо знать параметры случайных величин, участвующих в этих расчетах: математическое ожидание, дисперсию и т.д.

На практике эти параметры находятся приближенно по данным опыта.

Пусть с испытанием связана случайная величина с неизвестным параметром , и пусть в результате серии независимых испытаний получена выборка (40). В качестве приближенного значения параметра принимают надлежащим образом выбранную комбинацию элементов выборки (40).

.

Величина называетсявыборочной оценкой параметра .

К выборочным оценкам предъявляются следующие три основных требования: состоятельность, несмещенность, эффективность.

Чтобы были понятны даваемые далее определения этих понятий, обратим внимание на следующее: до выполнения испытаний числа (40) представляют собой независимые случайные величины, подчиненные одному и тому же закону распределения, совпадающему с законом распределения случайной величины , поэтому также является случайной величиной, и имеет смысл говорить о математическом ожидании, дисперсии, СКО и т.д. случайной величины.

1. Оценка называетсясостоятельной, если при неограниченном увеличении объема выборки сходится по вероятности к истинному значению параметра :

Это означает: при достаточно большом объеме выборки с практической достоверностью (с вероятностью, близкой к единице) практически совпадает с истинным значением .

2. Оценка называетсянесмещенной, если ее математическое ожидание совпадает с истинным значением параметра :.

3. Оценка называетсяэффективной, если она несмещенная и при этом имеет наименьшую дисперсию (наименьший разброс относительно ) по сравнению с другими несмещенными оценками параметра .

§ 5. Состоятельные несмещенные оценки для математического ожидания, дисперсии, ковариации

Пусть с испытанием связана случайная величина с неизвестными числовыми характеристиками (а, D) и пусть набрана независимая выборка (40).

В дальнейшем будем употреблять следующий удобный термин: любую функцию от выборки (40) будем называть статистикой.

Лемма 1. Статистика

(42)

является состоятельной несмещенной оценкой математического ожидания а.

Доказательство. 1. Мы знаем, что элементы выборки (40) являются независимыми случайными величинами с одним и тем же законом распределения, совпадающим с законом распределения случайной величины , а значит, имеют те же числовые характеристики (а, D).

По теореме Чебышева среднее арифметическое независимых случайных величин с одинаковыми параметрами (а, D), при неограниченном возрастании числа слагаемых сходится по вероятности к общему математическому ожиданию

что и означает состоятельность оценки.

2. Имеем

Это означает несмещенность оценки .

Лемма 2. Статистика

(43)

является состоятельной несмещенной оценкой дисперсии D. Доказывается аналогично лемме 1.

Замечание 1. Если в формуле (43) заменить (n - 1) на n , то оценка останется состоятельной, но будет смещенной. Величина S² называется исправленной дисперсией.

Замечание 2. Из леммы 2 следует, что статистика:

является состоятельной оценкой для СКО ). Можно доказать, что, т.е. оценкаS является смещенной оценкой для .

Пусть по данным опыта получим ряд значений случайной точки () (выборка):

(х₁, у₁) (х₂, у₂), …, (х_n, у_n).

Справедлива следующая

Лемма 3. Состоятельной несмещенной оценкой для cov() является выборочная ковариация

где