§4. Совместное распределение нескольких случайных величин. Многомерный нормальный закон

Пусть с испытанием связаны n случайных величин ₁, ₂,….,ξ_n. Укажем кратко, как введенные в этой главе понятия переносятся на этот случай.

1. Совместной функцией распределения случайных величин ₁, ₂,….,ξ_n называется функция

Совместной плотностью вероятности случайных величин ₁, ₂,….,ξ_n называется функция

Имеет место равенство

2. Обозначим а_i, σ_j математическое ожидание и СКО случайной величины ξ_i, к_ij – ковариацию случайных величин ξ_i, ξ_j:

Матрица

называется дисперсионной матрицей случайных величин ₁, ₂,….,ξ_n. Отметим следующие свойства матрицы D.

1⁰. Элементы главной диагонали матрицы D – дисперсии случайных величин ₁, ₂,….,ξ_n:

2⁰. Матрица D симметрическая: k_ij=k_ji.

3⁰. Собственные числа матрицы D неотрицательны.

Свойства 1⁰, 2⁰ очевидны. Предлагаем читателю проверить свойство 3⁰ для частного случая n=2. В этом случае матрица D имеет вид

(28)

где r – коэффициент корреляции случайных величин ₁, ₂.

3. В §3 этой главы было введено понятие совместного нормального распределения случайных величин ₁, ₂ – см.формулу (25). Это понятие обобщается следующим образом. Говорят, что случайные величины ₁, ₂,….,ξ_n имеют совместное нормальное распределение, если совместная плотность вероятности дается формулой

где - определитель дисперсионной матрицыD,

с_ij – элементы матрицы C=D^-1.

Нетрудно проверить, что в частном случае n=2 это определение совпадает с определением (25); для этого нужно воспользоваться формулой (28) для матрицы D и формулой обращения матрицы второго порядка с отличным от нуля определителем:

(предлагаем читателю выполнить проверку самостоятельно).

Справедливы утверждения: если ₁, ₂,….,ξ_n имеют совместное нормальное распределение, то каждая из них отдельно также нормальна; если каждая ξ_i нормальна и при этом ₁, ₂,….,ξ_n независимы, то их совместное распределение также нормально, и имеет место формула

где f_i(x) – плотность вероятности ξ_i. В общей ситуации из нормальности каждой отдельно ξ_i не вытекает нормальность совместного распределения.

Понятие совместного нормального распределения играет важную роль в приложениях теории вероятностей.

Глава 5. Закон больших чисел. Предельные теоремы

Под законом больших чиселпонимают закономерности вмассовыхслучайных явлениях, когда взаимодействие большого числа случайных факторов приводит к неслучайному результату. Пример закономерности такого типа приведен во введении: доля наступления случайного события в длинной серии независимых одинаковых испытаний практически неслучайна. Другой замечательный пример: оказывается, в ряде случаев закон распределения суммы большого числа случайных слагаемых не зависит от законов распределения слагаемых и может быть предсказан! Назначение предельных теорем теории вероятностей: дать строгие формулировки и обоснования различных форм закона больших чисел. В этой главе мы кратко рассмотрим результаты такого типа.

§1. Закон больших чисел в форме Чебышева

На практике хорошо известна следующая закономер­ность, которую можно сформулировать так: среднее арифме­ти­ческое большого числа независимыходнотипныхслучай­ных факторов практически неслучайно. Например, среднее арифме­тическое большого числа измерений одной и той же величины практически не отличается от истинного значения этой вели­чины; средняя кинетическая энергия большого числа хаотически движущихся молекул практически неслучайна и характеризует температуру тела.

Методы теории вероятностей позволяют дать строгую математическую формулировку этого закона.

Пусть имеется бесконечная последовательность слу­чай­ных величин

₁,₂, … ,_n, … (29)

Будем кратко называть случайные вели­чины (29) однотипными,если они имеют одно и тоже математическое ожиданиеа и одну и туже дисперсиюD.

Теорема. Пусть случайные величины (29) однотипны и независимы, тогда имеет место соотношение

приn, (30)

где а=М[_k],k= 1, 2, …, – любое как угодно малое положительное число.

Это означает: при достаточно большом nс практической достоверностью (с вероятностью100%) выполняется равенство

.

Эта теорема впервые была доказана русским математиком П.Л. Чебышевым. Доказательство теоремы основано на трех леммах.

Лемма 1.Пусть случайная величина≥ 0. Тогда спра­ведливо неравенство

Р (≥) ≤, (31)

где – любое положительное число.

Доказательствопроведем для непре­рывной случайной величины. Плотность вероятности случайной величиныf(х) = 0 прих< 0, так как≥ 0.

По определению математического ожидания имеем:

≥≥

(≥),

откуда следует неравенство (31).

Лемма 2.Пусть– случайная величина с числовыми характеристиками (а,D), тогда справедливо неравенство:

Р(|–a| < ) ≥ 1 – .

Доказательство.Имеем

Р(|–a| ≥ ) =P ((–a)²≥ ²) ≤ .

Здесь использовано неравенство (31) при  = ( – a)²,  =  ².

Из полученного неравенства следует

Р(|–a| < ) = 1 –Р(|–a| ≥ ) ≥ 1 – .

Лемма 3.Пусть₁,₂, …,_n- независимые однотипные случайные величины с числовыми характеристиками (а,D). Тогда при любом>0 справедливо неравенство

≥ 1 – . (32)

где  – любое положительное число, a = M[_i],D = D[_i],i= 1, 2, …,n..

Неравенство (32) называется неравенством Чебышева.

Доказательство. Обозначим

.

Из свойств математиче­ского ожидания и дисперсии для независимых случайных величин следует:

Таким образом, случайная величина имеет числовые характеристики; применяя к ней лемму 2, получим требуемое неравенство (32).

Доказательство теоремы Чебышева.

В силу неравенства Чебышева (32) имеем при любом nдвойное неравенство

1 ≥ ≥ 1 – .

Переходя к пределу при nи учитывая теорему сравнения из теории пределов, получим требуемое соотношение (30).

Замечание.Введем удобный термин. Пусть имеется последовательность случайных величин

₁,₂, …,_n, … . (33)

Говорят, что последовательность (33) сходится по вероятности к неслучайной величинеаи пишут

приn,

если для любого > 0 выполняется соотношение

Р(|_n–a| < )1 приn.

Очевидно, теорема Чебышева может быть сформулирована так: среднее арифметическое независимых однотипных случайных величин при неограниченном увеличении числа слагаемых сходится по вероятности к их общему математическому ожиданию.

Пример.Сколько надо провести независимых равноточных измерений данной величины, чтобы с вероятностью не менее 0,95 гарантировать отклонение среднего арифметического этих измерений от истинного значения величины не более, чем на 1 (по абсолютной величине), если СКО каждого измерения не превосходит 5?

Решение.Пусть_i– результатi-го измерения (i= 1,2,…,n),a– истинное значение измеряемой величины, то естьM[_i] =aпри любомi; с учетом равноточности измерений_i имеют одинаковую дисперсиюD≤ 25. В силу независимости измерений_i – независимые случайные величины.

Необходимо найти n, при котором

≥ 0,95.

В соответствии с неравенством Чебышева (32) данное неравенство будет выпол­няться, если

1 – ≥ 1– ≥ 0,95, откуда легко найти

n≥500 измерений.