§4. Показательный закон

Непрерывная случайная величина  называется показа­тельной (подчиненной показательному закону распределения), если ее плотность вероятности дается формулой

Число называется параметром показательной случайной величины.

График плотности вероятности имеет вид.

f(x)



0

x

Рис. 18

1. Покажем, что площадь бесконечной фигуры Sмежду графиком функцииf(x) и осью абсцисс равна 1.

.

2. Найдем числовые характеристики:

.

Здесь учтено, что

.

.

Здесь, аналогично, учтено, что .

Помнить:

,,. (17)

3. Найдем функцию распределения F(x).

.

Пусть х≤ 0:F(x) =P(<x) = 0,

x>0:.

Следовательно,

График F(x):

Рис. 19

4. Примерами показательных случайных величин являются продолжительность телефонного разговора, время безотказной работы автоматической линии. Имеет место следующий более общий результат.

Рассмотрим простейший поток событий. Обо­значим Тпромежуток времени между сосед­ними событиями потока (рис. 20).

Утверждение.Т– показательная случайная величина с параметром, равным интенсивности данного простейшего потока.

Доказательство.Вычислим функцию распределенияF(x) случайной величины. Пусть:

1).х≤ 0:

2). x> 0:F(x) =P(0≤T≤x) =Р(за времяхболее одного события) = 1 –р(за времяхни одного события) ==.

Мы получили:

Отсюда следует

что и требовалось доказать.

Мы использовали, что число событий простейшего потока с интенсивностью , наступающих за времях,является пуассоновской случайной величиной с параметрома=х.

§5. Нормальный закон

Непрерывную случайную величину называютнормальнойс параметрами (a,) и пишут=N(a,), если ее плотность вероятности дается формулой

.

Графикf(x) изображен на рис.21.

Можно доказать:

1. Площадь бесконечной фигуры между кривой f(x) и осью абсцисс равна 1.

2. Параметры (a,) нормальной случайной величиныимеют смысл математического ожидания и среднеквадратического отклонения (СКО):

m_ = a, D_ = ², _ = . (18)

3. F(x) =, где Ф (х) - функция Лапласа (12).

Следующие свойства 4-6 вытекают из 2,3 с учетом свойств функции распределения случайной величины и функции Лапласа.

4. . (19)

Действительно,

5. .

Имеем

6. .

В самом деле

.

Значения нормальной случайной величины с практической достоверностью лежат в интервале (а3) (рис 21) (правило трех сигм).

7. Примеры нормальных случайных величин

1. Показание измерительного прибора. В этом случае а– истинное значение измеряемой величины,характе­ризует точность прибора (называется среднеквадрати­ческой ошибкой прибора).

2. Размер серийно изготовляемой детали. В этом случае а– размер детали по ГОСТу,характеризует точность технологии.

3. Величина анодного тока в электронной лампе.

4. Высота стебля пшеницы на поле, и т. д.

Помнить: нормальный закон широко распространен в природе и в практической деятельности человека, связанной со случайными факторами. Причина этого будет объяснена в главе 5.

Замечание.Случайные величины₁,₂, … ,_n называютсянезависимымив совокупности (кратко: независимыми), если знание значений любой части из них не дает новой информации об остальных. Справедливо следующее утверждение: если случайные величины₁,₂, … ,_nнезависимы и нормальны с одними и теми жеа,, то сумма₁+ … +_nтакже нормальна, при этом имеет место формула:

.