Омский институт

Российского государственного торгово-экономического университета

Омский государственный технический университет

Р.К.Романовский

А.М.Романовская

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

(теория и задачи)

Омск-2003

ББК 22.171

Р69

Романовский Р.К., Романовская А.М. Элементы теории вероятностей и математической статистики (теория и задачи).– Омск: Издательство Наследие. Диалог-Сибирь, 2003.– 172 с.

Рецензент:

Директор Омского филиала Института математики СО РАН,

д.ф.-м.н., профессор Топчий В.А.

Утверждено научно-методическим Советом

от 25.09.2003 г. протокол №1

Редакционный совет:

Авдейчикова Е.В., к.т.н., доцент, заведующая кафедрой коммерции и маркетинга.Власов Р.Г.,к.ф.н., доцент, проректор по научной работе.Ковалев В.И.,к.э.н., доцент, заведующий кафедрой финансов и кредита.Круковский Я.В.,к.э.н., заведующий кафедрой информатики и математики.Кувалдина Т.Б.,к.э.н., доцент, заведующая кафедрой бухгалтерского учета и аудита.Покровский Г.Е.,к.э.н., доцент, заведующий кафедрой экономики.Тумашова З.И.,к.э.н., доцент, проректор по учебной работе.Шелонцева Л.Н., к.филол.н., доцент, заведующая кафедрой ин. Языков.

Учебное пособие содержит изложение основ теории вероятностей и математической статистики в рамках учебной программы по высшей математике для технических и экономических вузов. Теоретический материал иллюстрируется примерами. Найдена простая методика разъяснения ряда узловых понятий.

Пособие содержит большой набор задач для использования на практических занятиях, в том числе задачи экономического содержания, а также варианты контрольных заданий для студентов заочной формы обучения.

С Романовский р.К.,

Романовская А.М., 2003 г.

С Омский институт РГТЭУ, 2003 г.

ОГЛАВЛЕНИЕ

3

Введение 4

Глава 1. Основные понятия и правила теории вероятностей 12

X 90

Дополнения 95

Введение

§ 1. Предмет теории вероятностей

Теория вероятностей изучает закономерности в массо­вых случайных явлениях. Поясним это на двух простых примерах.

1. Проводится испытание – бросается монета. Если ис­пы­тание проводится один раз, то предсказать его исход – выпаде­ние герба или цифры – невозможно, здесь царит слу­чай. Пусть теперь испытание проводится много раз, причем так, что при каждом следующем испытании воспроизводится комплекс ус­ловий, при которых проводилось предыдущее; в этом случае говорят, что проводится серия независимых ис­пытаний. Заме­чательным является то, что в этой ситуации случай исчезает: можно предсказать, что герб выпадет при­мерно в 50% случаев, причём этот прогноз тем точнее, чем больше проводится испы­таний. Этот прогноз подтвержда­ется многократными провер­ками, проводившимися в разное время учёными. Так, француз­ский учёный Ж.Л.Л.Бюффон бросал монету 4040 раз, герб выпадал в 2048 случаях; швед­ский учёный К.Пирсон бросал монету 24000 раз, герб выпа­дал в 12012 случаях; и так далее.

2. Пусть испытание состоит в бросании игральной кости, представляющей собой куб, грани которого занумеро­ваны цифрами 1–6. При однократном бросании предсказать исход невозможно, однако можно предсказать, что в длин­ной серии независимых бросаний каждая из цифр выпадает примерно в 1/6 части случаев, этот прогноз тем точнее, чем больше броса­ний.

Проиллюстрированное на двух примерах явление, со­стоящее в том, что процент наступления случайного события в длинной серии независимых испытаний не случаен, пред­став­ляет собой один из универсальных законов природы, по­лучив­ший название закона больших чисел. Теория вероятно­стей представляет собой математическую модель этого за­кона. Вво­димое в самом начале этой теории понятие "веро­ятность слу­чайного события" и связанные с ним правила по­зволяют дать строгую математическую формулировку за­кона больших чи­сел, дают подходы к вычислению в ряде важных для практики случаев процента наступления случай­ного события в длинной серии испытаний до того, как эти испытания проводятся, и тем самым – подходы к прогнози­рованию результата этих испыта­ний. Методы прогнозирова­ния по массовым случайным явле­ниям, развиваемые в тео­рии вероятностей, широко применя­ются в настоящее время в различных областях науки и практи­ческой деятельности че­ловека.

Данное учебное пособие написано на основе курсов лек­ций, прочитанных одним из авторов в Омском государст­вен­ном техническом университете, другим автором в Ом­ском филиале Московского государственного университета коммер­ции. Основная задача, которую ставили перед собой авторы, – не стремясь к максимальной строгости и охвату материала, предложить простую методику разъяснения ряда трудных для понимания узловых понятий и идей теории ве­роятностей. на­деемся, что эта задача отчасти выполнена.

В дополнениях I-III приведены об­разцы решения типовых задач, набор задач для использова­ния на практиче­ских занятиях и варианты контрольных за­даний для студентов заочной формы обучения.

Пособие предназначено для студентов инженерных и экономических специальностей широкого профиля, может быть использовано в качестве элементарного руководства ин­женерами и экономистами, применяющими в своей дея­тельно­сти методы теории вероятностей.