Полный дифференциал функции двух переменных. Условие дифференцируемости

Рассмотрим функцию и зададим приращениятак, чтобы.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Полным приращением функции в точке, соответствующим приращениям, называется

.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция называетсядифференцируемой в некоторой точке , если её полное приращение в этой точке представимо в виде:

,

где а.

ТЕОРЕМА (достаточное условие дифференцируемости функции двух переменных). Если функция имеет в некоторой окрестности точкинепрерывные частные производные, то она дифференцируема в этой точке.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Зададим и рассмотрим полное приращение функции:

Так как по условию обе частные производные первого порядка существуют, применим к каждому слагаемому теорему Лагранжа: (см. гл. 5). Приполучим

, где – междуи;

Аналогично, при :, где– междуи.

Тогда

(6.1)

Кроме того, частные производные по условию непрерывны в окрестности точки, поэтому

, (6.2)

где ;

, (6.3)

где .

Подставим (6.2), (6.3) в (6.1):

.

Обозначив , получим требуемое.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Главная линейная часть полного приращения функции в точкеназывается ееполным дифференциалом в этой точке: .

Так как и– независимые переменные, тои

.

ПРИМЕР. Найти полный дифференциал функции

а) в точке , б) в точке.

.

а) ,

б) .

Производная сложной функции. Полная производная

ПРИМЕР. Вычислить частные производные первого порядка функции .

Решение этой задачи в том виде, как она сформулирована, приведет, очевидно, к громоздким вычислениям: в каждом слагаемом придется находить производную произведения. Однако можно, заметив определенную симметрию в заданном выражении и обозначив , значительно упростить вид функции. Вычислить частные производные функциизначительно проще, чем функции. Но для этого необходимо выяснить, как связаны между собой производные функцийи.

Функция гденазываетсясложной функцией двух переменных: она формально зависит от переменных и, а фактически – оти.

Будем считать, что функции дифференцируемы в точке, а функция– в соответствующей точке. Вычислим производную.

Зададим приращение , тогда функцииполучат частные приращенияи. Так какдифференцируема в точке, то по определению ее полное приращение имеет вид:

,

причем . (6.4)

Тогда

Функции дифференцируемы в точке, поэтому непрерывны. Значит,.

Кроме того, .

Отсюда с учетом (6.4) имеем

Таким образом,

.

Аналогично, задавая , получим:

.

Способ написания этих формул станет наглядным, если составить схему зависимости сложной функции от ее формальных (промежуточных) и фактических переменных (рис. 8):

Вернемся к примеру в начале этого параграфа.

ПРИМЕР. Найти частные производные первого порядка сложной функции ,.

Отсюда

где .

Эта идея применима для составления формул вычисления производных сложных функций, зависящих от любого числа как фактических, так формальных переменных.

ПРИМЕР. Составить формулы вычисления производных первого порядка функции

Согласно схеме зависимости (рис. 9) эта функция зависит фактически от трех переменных , и формулы вычисления производных имеют вид:

Рассмотрим сложную функцию .

Формально эта функция зависит от трех переменных, а фактически – функция только одной переменной. Поэтому производная от нее по– не частная, а обыкновенная производная, которая в таком случае называетсяполной производной данной сложной функции. Вычисляется она по формуле (рис. 10). В этой формуле–частная производная функции, зависящей от трех переменных , а–полная производная.

Используя формулу вычисления полной производной, можно дифференцировать показательно-степенные функции.

ПРИМЕР. Найти первую производную функции .

Обозначим , тогда получим– сложная функция двух переменных и(рис. 11).

Поэтому ,

где .

Заметим, что найти производную показательно-степенной функции можно и по-другому – с помощью процедуры логарифмического дифференцирования.