Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Омский государственный технический университет»

Н.И. Николаева функции нескольких переменных

Конспект лекций

Часть 3

Омск-2009

УДК

ББК

Рецензенты:

Ю.Ф.Стругов, д-р физ.-мат. наук;

С.Е.Макаров, канд. физ.-мат. наук, доцент

Николаева Н.И.

Функции нескольких переменных. Конспект лекций. Часть 3 / Н.И. Николаева. – Омск: Изд-во ОмГТУ, 2009. – 32 с.

Пособие представляет собой конспект лекций, читаемых автором на первом курсе технического университета, и предназначено для студентов всех форм обучения. В нем подробно, последовательно и с доказательствами изложена теоретическая часть курса математики. Изложение сопровождается достаточным количеством примеров, поясняющих наиболее важные теоретические положения, иллюстрирующих теоретический материал и дающих образцы решения задач.

Печатается по решению редакционно-издательского совета

Омского государственного технического университета

С	Н.И.Николаева, 2009
С	Омский государственный технический университет, 2009

Оглавление

Глава 6.	ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ………………..	4
	Частные производные……………………………………………………….	6
	Полный дифференциал функции двух переменных. Условие дифференцируемости………………………………………………………………	10
	Производная сложной функции. Полная производная…………………...	12
	Производная функции, заданной неявно…………………………………..	15
	Производная по заданному направлению. Градиент……………………...	18
	Касательная плоскость и нормаль к поверхности………………………...	21
	Экстремумы функции двух переменных…………………………………..	23
	Условный экстремум функции двух переменных. Метод множителей Лагранжа……………………………………………………………………..	26
	Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных на замкнутом ограниченном множестве………………………………………	31
	Библиографический список………………………………………………...	34

Глава 6. Функции нескольких переменных

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если каждой паре значений двух не зависящих друг от друга переменных ииз некоторой области их измененияпо некоторому правилу ставится в соответствие единственное значение переменной, то говорят, что на областизадана функция двух переменных.

Область называетсяобластью определения функции двух переменных, а множество значений, принимаемых переменной , – ееобластью значений.

Самый распространенный способ задания функции двух переменных – аналитический, то есть с помощью формул.

ПРИМЕР. а) . Эта функция определена на всей плоскости. Из аналитической геометрии известно, что– уравнение эллиптического параболоида, поэтому можно сказать, что эллиптический параболоид является графиком этой функции (рис. 1).

б) . Эта функция определена, если , то есть внутри единичного круга. После возведения в квадрат обеих частей равенства получим уравнение сферы , но так как, то график этой функции – верхняя полусфера (рис. 2).

в) Графиком этой функции является плоскость.

Таким образом, графиком функции двух переменных является поверхность.

Рассматривая функции двух переменных, мы будем иметь дело с множествами точек, которые представляют собой часть плоскости.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Окрестностью (или -окрестностью) точки называется множество точек плоскости, координаты которых связаны неравенством.

Другими словами, окрестностью точки на плоскости будем называть круг с центром в этой точке радиуса, не включающий окружность.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Точка называетсявнутренней точкой множества , если существует окрестность этой точки, целиком лежащая в.

То есть внутренние точки области принадлежат ей вместе с некоторой достаточно малой своей окрестностью.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если любая окрестность точки содержит как точки области, так и точки, не принадлежащие, тоназываетсяграничной точкой области . Множество всех граничных точек областиназывается ееграницей.

Или, по-другому, граница плоской области – это линия, которая ее ограничивает, а точки области, не лежащие на ее границе, – внутренние точки.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Область, состоящая из одних внутренних точек, называется открытой, или незамкнутой. Если к области относятся и все точки границы, то она называется замкнутой.

Вся плоскость по определению считается и открытой, и замкнутой.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Плоская область называется ограниченной, если существует круг, целиком содержащий эту область.

ПРИМЕР. – прямоугольник с центром в точке (0,1) (рис. 3) – ограниченная и замкнутая область;

–ограниченная и открытая (незамкнутая) область (рис. 4);

–неограниченная и открытая область (рис. 5);

–неограниченная и замкнутая область (рис. 6).