10.3.4. Линейные однородные

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ го ПОРЯДКА

Для линейного однородного дифференциального уравнения -го порядка

, (10.17)

, , характеристическое уравнение имеет вид:

. (10.18)

Чтобы решить дифференциальное уравнение (10.17), надо решить уравнение  -ой степени (10.18), которое имеет ровнокорней – действительных или комплексных. По виду найденных корней выписывается ф.с.р. с учетом того, что

1. каждому простому действительному корню соответствует одно решение ;

2. каждому действительному корню кратности соответствуетлинейно независимых решений ;

3. каждой паре простых комплексных корней соответствует пара решений;

4. каждой паре комплексно сопряженных корней кратности соответствуетлинейно независимых решений

,

.

Подчеркнем, что ф.с.р. линейного однородного дифференциального уравнения -го порядка содержит линейно независимых решений. После нахождения ф.с.р. общее решение дифференциального уравнения (10.17) запишется в виде.

ПРИМЕР. Найти общее решение дифференциальных уравнений:

а) , б).

а) характеристическое уравнение: . Это уравнение имеет две пары действительных корней кратности

. В соответствии с п. 2) ф.с.р. состоит из функций , а общее решение имеет вид:

.

б) характеристическое уравнение: . Это уравнение имеет простой действительный кореньи две пары комплексных корней. В соответствии с п. 1) и п. 4) составим ф.с.р.:. Отсюда общее решение имеет вид:

.

10.4. Методы отыскания частных решений линейных неоднородных дифференциальных уравнений

ТЕОРЕМА 5. Пусть – некоторое решение дифференциального уравнения

,

а – некоторое решение дифференциального уравнения

.

Тогда функция – решение дифференциального уравнения

.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Для доказательства достаточно подставить в уравнение:

.

Что и требовалось доказать.

10.4.1. Метод вариации произвольных постоянных

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение (10.11)

.

По теореме 4 его общее решение , где– общее решение соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения (10.12),  а– некоторое частное решение (10.11).

По теореме 3 где– ф.с.р. линейного однородного дифференциального уравнения (10.12), а– произвольные постоянные.

Идея метода вариации произвольных постоянных состоит в следующем: будем искать частное решение дифференциального уравнения (10.11) в виде, «похожем» на , именно: , где– некоторые пока неизвестные функции. Подберем эти функции так, чтобыудовлетворяло уравнению (10.11).

Вычислим производные :

.

Пусть . (10.19)

Тогда , откуда.

Подставляя найденные производные в дифференциальное уравнение (10.11), получим:

.

Перегруппируем слагаемые в этом равенстве:

.

Так как – ф.с.р. однородного дифференциального уравнения (10.12), то первые два слагаемые в левой части равны нулю, поэтому

. (10.20)

(10.19) и (10.20) – два уравнения для определения двух неизвестных функций .

Таким образом, если удовлетворяют системе двух дифференциальных уравнений

(10.21)

то – частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения (10.11).

Основной определитель системы (10.21) по теореме 2, так как решениялинейно независимы. Следовательно, система (10.21) имеет единственное решение. Проинтегрировав найденные функции, найдеми запишем частное решение.

ЗАМЕЧАНИЕ. Для неоднородного дифференциального уравнения -го порядка,, частное решение находится в виде,

где – ф.с.р. соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения

.

Неизвестные функции являются решением системы дифференциальных уравнений

Рассмотренный метод отыскания частного решения называется методом вариации произвольных постоянных.

ПРИМЕР. Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения .

Составим и решим соответствующее однородное дифференциальное  уравнение .

Это уравнение допускает понижение порядка, поэтому сделаем подстановку:

или – общее решение однородного уравнения. В соответствии с теоремой 3 функцииобразуют ф.с.р. этого уравнения.

Будем искать частное решение исходного неоднородного дифференциального уравнения в виде . Для того, чтобы найти неизвестные функции, составим и решим систему (10.21):

Заметим, что, так как в данном случае находится частное решение исходного неоднородного дифференциального уравнения, то достаточно найти некоторые частные решения для каждого из двух уравнений системы (10.21).

Итак, , а– искомое общее решение.

ПРИМЕР. Найти общее решение дифференциального уравнения

.

Решим соответствующее однородное дифференциальное уравнение

.

Характеристическое уравнение имеет комплексные корни– ф.с.р., а.

Будем искать частное решение в виде .

Составим систему уравнений (10.21):

Решим последнюю систему методом Крамера (см.гл.1):

Отсюда

,

.

Таким образом,

,

а общим решением данного дифференциального уравнения является функция ,.