10.2.4. Уравнения бернулли

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением Бернулли, если может быть приведено к виду

, (10.8)

При уравнение (10.8) является линейным, а при– уравнением с разделяющимися переменными.

ПРИМЕРЫ.

а) – уравнение Бернулли (). Это уравнение, кроме того, является однородным дифференциальным уравнением первого порядка;

б) – уравнение Бернулли ();

в) – уравнение Бернулли ().

Уравнения вида (10.8) могут быть решены так же, как и линейные, методом подстановки: будем искать решение в виде . Подставим эту функцию в уравнение:. Тогда функциинайдутся как решение системы дифференциальных уравнений

Сначала решим первое уравнение этой системы, причем – егочастное решение. Подставив во второе уравнение, найдемкакобщее решение этого дифференциального уравнения.

ПРИМЕР. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Пусть .

Отсюда

Интегрируя, получаем , или. Заметим, что при разделении переменных в первом из этих уравнений было потеряно решение, а, значит, и решениеисходного дифференциального уравнения.

Следовательно, общее решение имеет вид .

Отметим, что решение не содержится в решениини при каком значении постоянной.

10.2.5. Дифференциальные уравнения

В ПОЛНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Дифференциальное уравнение первого порядка вида

называется уравнением в полных дифференциалах, если левая часть его является полным дифференциалом некоторой функции . Это имеет место, если.

ПРИМЕРЫ.

а) – это уравнение является однородным дифференциальным уравнением первого порядка. Перепишем его таким образом:

. Тогда

.

Значит, это не только однородное дифференциальное уравнение, но и уравнение в полных дифференциалах.

б) . Так как для этого дифференциального уравнения, оно не является уравнением в полных дифференциалах, хотя, так же как и предыдущее, является однородным дифференциальным уравнением первого порядка.

По теореме о независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования (см.гл. 9) для того, чтобы выражение было полным дифференциалом некоторой функции, необходимо и достаточно выполнение равенства. Поэтому, если, то существует функциятакая, что ее полный дифференциал. Но нулевым является полный дифференциал лишь постоянной функции, значит, если– решение уравнения, то.

Таким образом, для того чтобы решить дифференциальное уравнение в полных дифференциалах, надо найти функцию , после чего общий интеграл уравнения запишется в виде.

ПРИМЕР. Решить задачу Коши .

В данном уравнении , поэтому данное дифференциальное уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Так как условиевыполнено, то существует функциятакая, что.

По определению полного дифференциала .

Сравнив эти два выражения, получим систему дифференциальных уравнений для нахождения неизвестной функции :.

Рассмотрим первое уравнение системы . Частная производная по, как известно (см.гл.6), вычисляется при условии, поэтому чтобы найти из этого равенства, проинтегрируем его в том же предположении:

.

Подчеркнем, что в рамках условия постоянная интегрирования будет зависеть оту.

Подставим теперь найденную функцию во второе уравнение системы: . Отсюда получим– уравнение для определения неизвестной функции.

Найдем ее: .

Таким образом, общий интеграл исходного дифференциального уравнения имеет вид , илигде.

По начальному условию , поэтомуи

–решение поставленной задачи Коши.