10.2.2. Однородные дифференциальные уравнения

ПЕРВОГО ПОРЯДКА

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным, если его можно привести к виду

. (10.5)

ПРИМЕРЫ.

а) – однородное дифференциальное уравнение первого порядка (это уравнение также является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными);

б) – не является однородным, так как не может быть приведено к виду (10.5);

в) . Чтобы убедиться в том, что это однородное дифференциальное уравнение, разделим обе его части на:

.

Теперь стало очевидным, что данное уравнение приводится к виду (10.5), то есть является однородным.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Многочлен -ой степени относительно двух переменныхназываетсяоднородным многочленом, если сумма показателей степеней во всех его одночленах одинакова и равна .

ПРИМЕРЫ.

а) – однородный многочлен первой степени;

б) – однородный многочлен третьей степени;

в) – однородные многочлены второй степени;

г) – не является однородным многочленом.

Уравнения вида , или, где

–однородные многочлены -ой степени, являются однородными дифференциальными уравнениями первого порядка.

Однородное дифференциальное уравнение первого порядка сводится к уравнению с разделяющимися переменными в результате замены переменной по формуле: . Действительно, так как, то, поэтому после выполнения подстановки уравнение (10.5) примет вид, а дифференциальное уравнениеявляется уравнением с разделяющимися переменными.

ПРИМЕР. Решить задачу Коши .

Данное дифференциальное уравнение является однородным, поэтому сделаем замену переменной . Тогда имеем:– уравнение с разделяющимися переменными. Решим его:

.

Возвращаясь к «старым» переменным, получим общий интеграл .

Найдем решение, удовлетворяющее начальному условию :

–искомое частное решение.

Заметим, что если задать начальное условие , то соответствующее частное решение будет иметь вид.

10.2.3. Линейные дифференциальные уравнения

ПЕРВОГО ПОРЯДКА

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если неизвестная функция и ее производная входят в него линейно, то есть в первой степени. Такое уравнение имеет вид

. (10.6)

Если , то дифференциальное уравнениеназываетсялинейным однородным дифференциальным уравнением первого порядка (оно является также дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными). Если , то уравнение называетсялинейным неоднородным.

ПРИМЕРЫ.

а) – линейное неоднородное дифференциальное уравнение;

б) – не является линейным;

в) . Разделив обе части этого дифференциального уравнения на, получим

–линейное дифференциальное уравнение;

г) – не является линейным.

Одним из методов решения уравнений вида (10.6) является метод подстановки. Идея метода состоит в том, что любая функция может быть представлена в виде произведения двух функций, одна из которых произвольная. Например, и т.д.

Будем искать решение дифференциального уравнения (10.6) в виде произведения двух функций: . Найдеми подставим в уравнение:

.

Так как первый сомножитель в произведении можно выбрать произвольно, потребуем, чтобы функцияобращала в ноль первое слагаемое в последнем равенстве:. Тогда для нахождения функцийиполучим систему дифференциальных уравнений:

. (10.7)

Так как функция выбирается в известном смысле произвольно, то она является каким-либочастным решением первого уравнения системы (10.7). Заметим, что оно является линейным однородным дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.

Решив первое уравнение, подставим найденную функцию во второе дифференциальное уравнение и найдем, какобщее решение этого уравнения.

ПРИМЕР. Решить задачу Коши .

Пусть .

Отсюда

Заметим, что функция не является решением дифференциального уравнения, поэтому при разделении переменных в первом из уравнений системы обоснованно полагалось, что.

Таким образом, общее решение данного дифференциального уравнения имеет вид

.

Найдем теперь решение задачи Коши:

–искомое частное решение.